导图社区 数学必修二知识点思维导图
数学必修二知识点思维导图，如 平面向量既有大小又有方向的量，表示具有方向的线段，在有向线段的终点处画上箭头标识它的方向。
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英语词性
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平面向量
概念：既有大小又有方向的量
表示：具有方向的线段，在有向线段的终点处画上箭头标识它的方向
起点
方向
长度
向量AB
关系
平行（共线）向量：方向相同或相反的向量
相等向量：长度相等且方向相同的向量
运算
加法
平行四边形法则
三角形法则
AB+BC=AC
减法
等于加上这个向量的相反向量
a-b表示为从向量b的终点到向量a的终点
数乘
实数λ与向量a的积
运算律
λ（μa）=λμ（a）
(λ+μ)a=λa+μa
向量的线性运算
数量积
定义 a·b=∣a∣∣b∣cosθ（θ是向量a与b的夹角，0≤θ≤π）
结果为数字
0向量乘任何向量都为0
两向量相乘等于0则两向量⊥
投影
一个向量的起点与终点在另一个向量上做垂线所形成的垂足 这个变换过程
形成的垂足所构成的向量为第一个向量在第二个向量上的投影向量：丨a丨cos＜a，b> · b
a·b=b·a
(a+b)·c=a·c+b·c
(λa)·b=λ(a·b)
平面向量基本定理
如果两个向量 a、 b不共线，那么向量 p与向量 a、 b共面的充要条件是：存在唯一实数对λ，μ，使 p=λ a+μb。
如果a、b不共线，那么{a，b}为平面内所有向量的一个基底
坐标表示
在平面直角坐标系中：x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
判定共线与垂直
共线
a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），如果 x1y2＝x2y1，则共线
垂直
数量积为0
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
余弦定理
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
复数
定义
形如a+bi(a，b属于R)的数叫做复数
（代数形式）
a为复数的实部，b为复数的虚部
b=0时 z为实数
a=b=0时 z为实数0
b≠0时 z为虚数
a=0，b≠0时 z为纯虚数
i为虚数单位，等于根号-1
几何意义
复平面
x轴叫做实轴
y轴叫做虚轴
与复平面内的点一一对应
与复平面内的向量一一对应
复数对应向量的模叫做复数的模或绝对值
共轭复数
两个复数的实部相等，虚部互为相反数
复数z的共轭复数用z（上加一横）表示
a+bi+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
a+bi-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
满足加法交换、结合率
乘法
(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+cb)i
除法
满足乘法分配、交换、结合律
三角表示
任何一个复数z=a+bi都可以表示成 r(cosθ+isinθ）的形式
辐角
r(cosθ+isinθ）的形式中 θ为复数z的辐角
0的辐角是任意的
θ属于[0,2π]时，θ是z的辐角主值（arg z）
乘除
两个复数相乘（除），积（商）的模等于各复数的模的积（被除数辐角除以除辐角数的商），积（商）的辐角等于各复数的辐角的和（被除数辐角除减去除数辐角的差）
立体几何
基本立体图形
空间几何体
只考虑物体的形状和大小，由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
多面体
面
围成多面体的各个多边形
棱
两个面的公共边
顶点
棱与棱的公共点
分类
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体
底面
两个互相平行的面
是全等的多边形
侧面
除底面外的面
都是平行四边形
相邻侧面的公共边
侧面与底面的公共顶点
类型
直棱柱
侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱
底面是正多边形的直棱柱
平行六面体
底面是平行四边形的四棱柱
n棱柱
棱柱的底面是n边形
表面积公式：S = 2S₁ + S₂h （其中 S₁ 为底面积，S₂ 为侧面积，h 为高度） 体积公式：V = S₁h （其中 S₁ 为底面积，h 为高度）
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的多面体
仅有的那个多边形面
有公共顶点的各个三角形面
各侧面的公共顶点
n棱锥
底面是n边形
三棱锥又叫做四面体
正棱锥
底面是正多边形，并旦顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
表面积公式：S = S₁ + S₂ （其中 S₁ 为底面积，S₂ 为侧面积） 体积公式：V = (1/3)S₁h （其中 S₁ 为底面积，h 为高度）
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
原棱锥的底面——棱台的下底面，截面——棱台的上底面
棱台也有侧面、侧棱、顶点与棱柱、棱锥类似
表面积公式：S = S₁ + S₂ + S₃ （其中 S₁、S₂ 分别为上下底面积，S₃ 为侧面积） 体积公式：V = (1/3)(S₁+ S₂ + √( S₁×S₂ ))h （其中 S₁、S₂ 分别为上下底面积，h 为高度）
旋转体
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭曲面围成几何体
轴
构成旋转体封闭曲面的平面曲线所围绕着旋转的定直线
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
直于轴的边旋转而成的圆面
母线
平行于轴的边
表面积公式：S = 2πrh + 2πr^2 体积公式：V = πr^2h
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
底面、母线类似于圆柱
表面积公式：S = πrl + πr^2 （其中r为底面半径，l为斜高） 体积公式：V = 1/3 πr^2h
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分
底面、母线类似于圆柱、圆锥
表面积公式：S = π(r₁ + r₂) + πl （其中 r₁、r₂ 分别为上下底面半径，l 为斜高）
体积公式：V = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂) （其中 r₁、r₂ 分别为上下底面半径，h 为高度）
球
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成一个曲面（球面），该曲面所围成的旋转体
球心
半圆的圆心
半径
球心和球面上任意一点的线段
直径
连接球面上两点并且经过球心的线段
表面积公式：S = 4πr^2 体积公式：V = 4/3 πr^3
直观图
斜二测画法
1.画x'轴与y'轴，使之交于原点O，令∠x'Oy'=45°或135°
2.原图形中与x轴平行的线段不变，与y轴需要减小为原来的一半再与y'轴平行
3.对于立体图形需要增加一条垂直于x'，y'轴的z'轴
空间直线、平面的位置关系
基本事实
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
位置关系
直线与直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
直线与平面
直线在平面内—有无数个公共点
直线与平面相交—有且只有一个公共点
直线与平面平行—没有公共点
在平面外
平面与平面
两个平面平行—没有公共点
两个平面相交—有一条公共直线
空间直线、平面的平行与垂直
平行
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
定理
等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交.那么该直线与交线平行
平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
两个平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
直线与直线垂直
定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直
直线与平面垂直
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与该平面互相垂直
垂线：直线叫做该平面的垂线，
垂面：平面叫做该直线的垂面.
垂足：直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足.
性质
过一点垂直于己知平面的直线有且只有一条
直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角
直线、平面间的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，这是两个平行平面间的距离.
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
平面与平面垂直
二面角
定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
棱：这条直线
面：这两个半平面
平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线B,则这两条射线构成的夹角叫做二面角的平面角.
二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度
二面角的平面角的取值范围是[0°,180°]
平面角是直角的二面角叫做直二面角
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直
两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直.如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
统计
获取数据的途径
调查
方式
普查（全面调查）
对每一个调查对象都进行调查的方法
对象
总体
调查对象的全体
可以把调査对象的某些指标的全体作为总体
个体
组成总体的每一个调查对象
可以每一个调查对象的相应指标作为个体.
总体均值（总体平均数）：总体的各个个体的变量值之和与总体数量之商
抽样（抽样调查）
根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调査方法
样本
从总体中抽取的那部分个体
样本量：样本中包含的个体数
特点：花费少、效率高
样本平均数：样本的各个个体的变量值之和与样本量之商
简单随机抽样
放回简单随机抽样：抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等
不放回简单随机抽样：抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进人样本的各个个体被抽到的概率都相等
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
简单随机抽样一般指不放回简单随机抽样
方法
抽签法
随机数法
分层随机抽样
按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本
层：每一个子总体
比例分配：如果每层样本量都与层的大小成比例
试验
观察
查询
用样本估计总体
图表
频率分布直方图
绘制
1. 求极差
2. 决定组距与组数
当样本容量不超过100时，常分成5〜12组
一般取等长组距
组距应力求“取整”
3.将数据分组
4.列频率分布表
5.画频率分布直方图
直观描述不同类别或分组数据的频率
扇形统计图
直观描述各类数据占总数的比例
条形图
直观描述不同类别或分组数据的频数
折线图
描述数据随时间的变化趋势
百分位数
第P百分位数：使这组数据中至少有/的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p)%的数据大于或等于这个值.
计算方式
1.按从小到大排列原始数据.
2.计算i=n*p%.
3.若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据;若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.
众数
数据中出现次数最多的那个值
方差
计算公式
总体方差：
样本方差：
标准差
概率
随机试验（常用E表示）
样本点：每个可能的结果
样本空间：全体样本点的集合（一般用Ω表示）
有限样本空间：Ω为有限集
事件
随机事件（事件）
样本空间D的子集
一般用大写字母A，B，C，…表示
基本事件：只包含一个样本点的事件
必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，为必然事件
不可能事件：空集Ф不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，为不可能事件
事件的关系和运算
包含：若事件A发生，则事件B—定发生，我们就称事件B包含事件A （或事件A包含于事件B）
相等：事件B包含事件A，事件A也包含事件B
并事件：事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
交事件：事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
互斥：如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A交B是一个不可能事件，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）
古典概型
古典概型试验的特征
(1) 有限性：样本空间的样本点只有有限个
(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性相等
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)，事件A的概率用P(A)表示.
n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
基本性质
1.对任意的事件A，都有P(A) ≥0.
2.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(Ф)=0
3.如果事件A与事件B互斥.那么P(AUB)=P(A)+P(B)
4.如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)=1-P(B).
5.对于事件A属于事件B，那么A小于等于B
6. 设A. B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∏B)
独立：对任意两个事件A与B ,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立
频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)
随机模拟：利用计算器或计算机软件可以产生随机数.根据不同的随机试验构建相应的随机数，快速地进行大量重复试验（蒙特卡洛方法.）
向量的模
浮动主题
模为0的向量为0，为1的向量为单位向量
