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第三单元 代数式（知识点全解）
初中数学《代数式》知识点大全详细解析。包括定理、法则、推论、性质等详细列表、易错点及注意提示，一起来看。
编辑于2023-08-06 23:59:36 山东省- 代数式
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代数式
一、代数式的初步认识
01代数式
(1)代数式的概念
用基本运算符号(加、诚、乘、除、乘方和开方) 把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式
注意
a、单个数字与字母也是代数式 b、代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号 c、代数式可分运算关系和运算结果两种情况
(2)代数式的分类
有理式
有理式定义
有理式：只含有加、减、乘、除、乘方(包括数字 开方运算)的代数式，叫做有理式
有理式分类
整式
单项式
多项式
分式
无理式
含有关于字母开方运算的代数式，叫 做无理式
(3)列代数式
把问题中与数量有关的词用含有数、字母和运 算符号的式子表示出来，就是列代数式.
注意
①列代数式要认真审题.仔细分析问题中基本术语的含义。如，和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、增加到、减少、减少到、扩大、缩小、除、除以等等。 ②要注意问题的语言叙述所直接与间接表示的运算顺序，一般来说，先读的先写。 ③要弄清题中的数量关系的运算顺序， 注意正确使用表明运算顺序的括号。在比较复杂的语句中，一般会有多个“的”字出现。列代数式时，可抓住各个"的"字，将句子分为几个层次，逐步列出代数式。 ④在同一问题中， 不同的数量，必须用不同的字句来表示。
(4)代数式的书写要求
①字母与字母相乘，数字与字母相乘(数字应 写在字母前) ，乘号通常写作“·”或者省略不写. 例如， X×Y 可写作X·Y 或XY。 (m+n) x4 可写成 4·(m +n ) 或4(m + n). 但为避免误会，数与数相 乘时仍用“ x" 号，不宜用“·”号，更不能省略乘号.
②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数 的写法来写。例如S÷t 写作S/t。
③带分数与字母相乘，省略乘号时应把带分数 化成假分数。
④实际问题中需用单位时，若代数式的最后结 果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来， 再写单位; 否则，可直接写单位.例如， 5y km/ h， ( a + b) cm，(x + y) 天
⑤代数式中不能含有“=”，“> "，" <"等符号.
(5)简单代数式表示的实际背景或几何意义
实际问题中的数量关系可以用代数式表示，另 一方面，同一个代数式可以揭示多种不同的实际意 义。注意说出代数式表示的实际意义时，数与字母 的含义必须与实际相符.
02代数式的值
(1)代数式的值的概念
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的 运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
注意
a.代数式的值是随着代数式中字母取值的变化而变化的，所以求代数式的值时，在代入前，必须写出"当……时“表示这个代数式的值是在这种情况下得到的。 列如，当n= 1 时,代数式2n+1的值是3 ; 当n=5 时， 代数式2n+1的值是11. b. 代数式里的字母的值必须确保代数式有意义.若是由实际问题列出的代数式，必须保证实际问题有意义
(2)求代数式的值的步骤
①"代入"指用数值代替代数式里的字母;
②"计算"指按代数式中的运算关系计算得出 结果
(3)求代数式的值的基本方法
1、直接代入
2、整体代入
3、化简后代入
注意
a、 一个代数式中的同一字母要用同一个数值代入，且注意多个字母情形下的对应关系. b、为了避免混港，注意括号前原来省略乘号的地方要添上乘号，当代入的字母是负数时，代入后应加上括号，另外字母是分数时， 遇到乘方也要加括号。
03用代数式表示变化规律
(1)用代数式表示图形的变化规律
找图形的变化规律，一般可以通过列表的方式 寻找图形序号与所查图形个数之间的关系，并用含 序号字母的代数式来表示。在用含字母n的代数式 来表示规律时， 一般要求是正整数( 即n=1 ， 2 ， 3，… ) ， 注意要依次取n= 1 ， 2 ， 3 ， … ，对答案进行 检验
(2)用代数式表示等式的变化规律
用代数式表示等式的变化规律时，不变的位置 照写. 对于变化的位置，一般是以"n" 代替第1个式 子中将要发生变化的量，其他位置作相应变化，最 后依次取n= 1 ， 2 ， 3.. . . ，对答案进行检验
(3)用代数式表示数或式的变化规律
+ ，-， +， -， …，可用代数式(-1 )^( n + 1) 或( -1 )^(n-1) 来控制; -，+， - ， +，可用代数式( -1)^ n 来控制，依次取n=1 ， 2 ， 3 ，… ，对答案进行 检验
注意
含序号字母的代数式与图形个数(或等式序号、数和式序号)必须对应
二、整式
01整式的分类
(1)整式定义
单项式和多项式统称为整式，或者由数和字母 经过有限次加 减、乘、乘方所得的式子叫做有理整 式，简称为整式。 所有的整式都是代数式，但代数式并不都是整式。如
(2)单项式
1、定义
由数或字母的积组成的式子，像这样的式子叫做单项 式。单独一个数或 个字母也是单项式
注意
单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算。例如是单项式。若分母中含有字母，例如就不是单项式
2、单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项 式的系数
注意
a、若一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或者-1。若单项式是一个常数，则系数就是它本身，要注意负数做系数时，应包括前面的符号（即系数带符号），对于形如-的单项式 它的系数是。 b、是数，不要将其当成字母。的系数是，而不是2
3、单项式的次数
一个单项式中 ，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
注意
1、 单项式的次数应是所有字母的指数和，与系数的指数没有任何关系。如的次数是5，不要错误地认为是 9. 2、对于单独一个非零的数，规定它的次数是0
(3)多项式
1、定义
几个单项式的和叫做多项式
2、多项式的项
在多项式中，每个单项式叫做 多项式的项
3、常数项
多项式，中不含字母的项叫做常数项
4、项数
多项式中单项式的个数叫做项数
5、多项式的次数
多项式中，次数最高项的次 数，叫做这个多项式的次数
6、多项式的命名
多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次几项式。次数是几，叫几次式，项数是几，叫几项式
7、升幂排列与降幂排列
1、为便于多项式的运算，可以将多项式的各项按 一字母的指数大小顺序重新排列 2、若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫 做这个多项式按这个字母降幂排列． 3、若按某个字母的指数从小到大的顺序排列 做这个多项式按这个字母升幂排列
注意
各项移动时要连同它前面的符号一起移动
02整式的加减
1、整式加减的运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
2、同类项
概念
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.另外，所有的常数项都是同类项。例如：-m²n与3m²n是同类项
注意
a.判断同类项的标准是“两相同”,即所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者缺一不可。 b.同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关，如与是同类项.
合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
注意
a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. b.合并同类项后的式子中不要再含有同类项，它可能是单项式，也可能是多项式. c.所有的常数项都是同类项
3、去括号和添括号
①去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同（原符号不变）；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。如：+(a+b-c)=a+b-c；-(a+b-c)=-a-b+c.
拓展：去括号的几种特殊方法
①先整体合并，再去括号
在整式的加减运算中，如果有几部分都含有多项式A,那么把A看成一个整体，使这几部分合并成一项，再去掉A的括号
②从外到里去括号，减少变号次数
如果在整式加减运算中，只含有小括号和中括号，那么把小括号内的各项视为一个整体，先去中括号，再去小括号
③一次去掉多重括号
在含有多重括号的式子中，去括号时，括号里的项是否变号，只与该项以及该项所在各层括号前的“-”号相关与“+”号无关，因此，只需从外向里逐项确定影响该项的“-”号的个数.当某项受奇数个“-”号影响时该项变号，受偶数个“-”号影响时不变号.
②添括号法则
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。如a-b-c=-(-a+b+c)
4、整式的化简求值
①化：通过去括号、合并同类项将整式化简
②代：把已知的字母或某个整体的值代入化简后的式子
③算：依据有理数的混合运算顺序和法则进行计算
03幂的运算
(1)同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。(m，n）都是正整数)
①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如  (m,n,p都是正整数). ②同底数幂的乘法与整式加法不可相混淆，如是同底数幂的乘法，计算时“底数不变，指数相加”,即==.而是整式的加法，计算时，只能合并同类项，=2+,其中a^3和a^2不是同类项，不能合并
注意
a.运算性质可以逆用，即 b.幂的底数a可以是单项式，也可以是多项式，如 (x-y)³·(y-x)²=(x-y)³·(x-y)²=(x-y)^5. c.当幂指数是1时，不要误以为没有指数，如a·a^3=a^4,而不是a^3
(2)幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘. (m，n都是正整数).
注意
a.在形式上，底数本身就是一个幂，根据同底数幂的运算性质可推出结论： （共n项） b.同底数幂的乘法与幂的乘方的比较  c.此性质可以逆用  d.多重幂的乘方：(m,n,p是正整数) 
(3)积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.(n为正整数)
注意
A、三个或三个以上的因数的积的乘方，也具备这一性质，如(abc)ⁿ=aⁿ·bⁿ·cⁿ(n为正整数) B、此性质可逆用： aⁿ·bⁿ=(ab)ⁿ C、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据。在这三个幂的运算中，要防止符号错误，例如，(-x)ⁿ≠-xⁿ,(-x)ⁿ≠-(-x)ⁿ;还要防止运算性质发生混淆，如，等。
(4)同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减。(a≠0，m，n均为正整数).
注意
此性质可以逆用，即
(5)零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a°=1(a≠0).
拓展：负整数次幂的意义
一般地，当n是正整数时 （n≠0，n为正整数)
注意
它是由在a≠0,m<n时转化而来的。也就是说当同底数幂相除时，若被除式的指数小于除式的指数，则转化成负指数幂的形式。结果为的倒数，也就是说一个不为零的数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，也可以等于这个数的倒数的正整数次幂，即= (a≠0,p为自然数)
注意
它是由在a≠0，m=n时转化而来的。也就是说当同底数幂相除时，若被除式的指数与除式的指数相等，则转化成零指数幂，即它的结果为1.
(6)比较正整数幂的大小的方法
1、把它们化成同底数的幂，如果指数越大，则幂越大
2、把它们化成指数相同的幂，如果底数越大，则幂越大.
04整式的乘法
(1)单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
注意
a、积的系数等于各因式系数的积，应先确定符号，再计算绝对值。 b、相同字母相乘，是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。 c、只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，不要把这个因式漏掉。 d、单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式。
(2)单项式与多项式相乘的法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a+b+c)=ma+mb+mc
注意
A、计算时易出现符号错误，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 B、非零单项式乘以多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
(3)多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
注意
A、多项式的乘法法则，是由多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的。 B、两多项式相乘的结果仍是多项式，在没有合并同类项之前，所得积的项数应为两个多项式的项数的积，如(a+b)(x+y+z)相乘展开后结果应为2×3=6项，这也是检查相乘后有无漏乘的一般方法。 C、注意多项式乘法运算过程中的符号问题。多项式中的每一项均包括它前面的符号，计算时要细心。
05乘法公式
(1)平方差公式
①公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫做(乘法的)平方差公式。 记忆口诀：“和乘差，平方差”
②结构特征： A、左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数； B、右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减相反项的平方)。
③平方差公式的常见变形

拓展：立方和、差公式
立方和公式：(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
立方差公式：(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
注意
公式中的字母a和b可以表示数，也可以是单项式或多项式。平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用作为快速计算的工具。
(2)完全平方公式
①公式： (a+b)²=a²+2ab+b²； (a-b)²=a²-2ab+b² 即：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍
②结构特征： 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 可简记为“首平方(a²)，尾平方(b²)，积的2倍(2ab)在中央”。
③完全平方公式的常见变形
1、a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab; 2、(a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²); 3、(a+b)²-(a-b)²=4ab; 4、其他变形（见注释）
   这些变形的应用十分广泛，因而要熟记这些变形公式
推广
1、(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac 2、(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ 3、(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
拓展：特殊二项式乘法公式
公式：(x+p)(x+q)=x²+(p+g)x+pq(p，q是常数)
公式特点： ①相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项的系数为1。 ②乘积是二次三项式，二次项系数是1，一次项系数是两常数项之和，积的常数项等于两个因式中常数项之积。
注意
A、运用中要防止出现(a±b)²=a²±b²,或(a-b)²=a²-2ab-b²等错误。 B、如同平方差公式一样，其中的字母a和b可以表示数，也可以是单项式或多项式。
06整式的除法
(1)单项式除以单项式的法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
单项式除以单项式的实质是有理数的除法和同底数的幂的除法的结合，单项式除以单项式的结果仍是单项式
注意
做单项式的除法运算可分三步： a.系数相除的结果作商的系数； b.同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； c.只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的因式。
(2)多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。如：(am+bm+cm+dm)÷m=am÷m+bm÷ m+cm÷m+dm÷m=a+b+c+d
注意
a.计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同。 b.以上法则的实质，就是把多项式除以单项式的运算，转化为单项式除以单项式的运算。
07整式的混合运算
1、关键是注意运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的.去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
2、运算结果中若有同类项时要合并，从而得出最简结果。
08因式分解
(1)因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
拓展
①一个单项式里不含加减运算，不用因式分解
②因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和为积的变形
③因式分解与整式乘法是互逆的
④在因式分解的结果中，每个因式都必须是整式，下面这种变形就不是因式分解
⑤因式分解要分解到不能再分解为止，且结果要以乘积的形式表现
⑥分解因式时要考虑数的范围，例如在有理数范围内x²-2已经不能再分解了，但在实数范围内还可以分解为(x+√2)(x-√2)。今后，如果没有特别说明，或没有特殊需要，都是在有理数范围内分解因式
(2)因式分解的基本方法
①提公因式法
a.公因式
多项式的每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式。
b.提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 用字母表示为：ma+bm+cm=m(a+b+c)，m 称为这个多项式的公因式，它既可表示单项式也可表示多项式。
注意
公因式的确定方法： a.系数：取多项式各项系数的最大公约数； b.字母：取多项式各项都含有的相同字母(或多项式因式)的最低次幂。
②公式法
（1）平方差公式法：a²-b²=(a+b)(a-b)
（2）完全平方公式法： a²+2ab+b²=(a+b)²； a²-2ab+b²=(a-b)²；
拓展
①分组分解法：ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)
在实际应用中，分组分解的形式有很多种。如分组后能提公因式，分组后能用公式。
②十字相乘法：x²+(p+g)x+pg=(x+p)(x+q)
用这种方法要先把待分解的多项式整理成左边的二次三项式的形式
注意
一、能运用平方差公式分解因式的多项式的条件： a.应是二项式； b.二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方； c.两项是异号。 二、运用完全平方公式分解因式的条件： a.应是三项式； b.有两项符号相同，且能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍； c.分解因式首先考虑是否有公因式，之后再考虑用公式法分解。
③因式分解的一般步骤
①多项式的各项有公因式时，先提取公因式。 ②各项没有公因式时，要看看能不能用公式法来分解。 ③如果用上述方法不能分解，再看能不能运用分组分解法.即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的。 ④分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。 以上步骤可总结为“一提、二套、三分组、四查”。
注意
分解因式时，要注意题目所给的范围，题目不做说明的，表明是在有理数范围内因式分解，否则是在实数范围内因式分解。
三、分式
01分式的概念及相关知识
(1)分式的概念
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，分式A/B中的A叫做分子，B叫做分母
注意
分式与分数在形式上是一致的，但分数是整式，不是分式，根本区别在于分式中的分母必须含有字母，这也是分式的一个重要标志
(2)分式有意义的条件
因为0不能作除数，所以在分式A/B中，若B≠0，则分式A/B有意义；若B=0，那么分式A/B没有意义。
(3)分式值为零的条件
在分式A/B中，当A=0且B≠0时，分式A/B的值为0。即
注意
”分式有意义”和“分式的值为零”是两个不同的概念。 分式有意义是指分式的分母不为零； 分式的值为零是指在分母不为零的前提下，分子为零。
02分式的基本性质
（1） 基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。其中A，B，C是整式
（2） 主要应用
①不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数
②分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变
03约分和通分
（1） 约分
1. 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分。约分不改变分式的值。(C为公因式)
2. 约分法则
把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂； 约去分子与分母系数的最大公约数； 如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。

3. 最简分式
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式
约分一般是将一个分式化为最简分式，但分式约分所得的结果有时可能成为整式.如3a-1
（2） 通分
1. 通分定义
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分

2. 最简公分母
定义
各分式分母中的系数的最小公倍数与所有字母(或因式)的最高次幂的积，叫做最简公分母
确定最简公分母的方法
分母为单项式
①系数取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数
②取单项式中每个字母出现的最高次幂作为最简公分母中该字母的次数
举例

分母为多项式
①对每个分母因式分解
②找出每个出现的因式的最高次幂，它们的积为最简公分母
③若有系数，方法同上
举例

3. 通分法则
把两个或者几个分式通分，先求各个分式分母的最简公分母，再用分式的基本性质，把最简公分母除以原来各分母，用所得的商式分别去乘原来分式的分子作分子，以最简公分母为分母的分式.若分母是多项式，则先分解因式，再通分
注意
a.通分的根据是分式的基本性质； b.通分后的分式与原来的分式相等； c.通分一般要伴随着对分母的因式分解； d.若有的分母的系数不是整数，就要先根据分式的基本性质，把它化成整数。
（3） 通分与约分的差异
①通分是把分式的分子、分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变；约分是把分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变
②约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言
③约分是将一个分式化简，而通分是将一个分式化繁
04分式的运算
（1） 分式的乘除
①分式乘法法则
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
注意
若分子、分母是单项式，先相乘，然后通过约分将积化为最简分式，如果分子、分母是多项式，则应先因式分解，看能否约分，然后再相乘
②分式除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
注意
a.分式乘除法的运算，归根结底是乘法运算。实际进行时，可视情况，先约分，再相乘。 b.当分子、分母是多项式时，可先按某一字母降幂(或升幂)排列好，再分解因式进行运算。 c.运算的结果应该是最简分式或整式。 d.分式的乘除法，只含有同级的乘除运算，应按从左到右的顺序进行。
③分式的乘方法则
分式乘方要把分子、分母分别乘方

注意
a.可以把分式乘方看作商的乘方 b.做分式乘方时，应养成先决定结果的符号，再做其他运算的良好习惯
（2） 分式的加减
①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 用式子表示是
②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减
拓展
①a，b所代表的可以是单项式，也可以是多项式，要注意是“分子的整体”相加减，需要括号的一定要加上，以防出错

②一个分式与一个整式相加减时，可以把整式当作是分母为“1”的分式(整式前面是负号时，要加括号)，进行通分，这样做不易出错

③加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)
（3） 分式的混合运算
分式的混合运算的方法是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中，从左向右依次进行
注意
a.实数的运算律对分式同样适用 b.注意运算顺序，结果必须化为最简分式或整式 c.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前边
（4） 分式的化简求值
定义
分式的化简求值是指不直接把字母取值代入分式中计算而是先化简然后再代入求值。化简过程就是分式的混合运算过程
常见方法
①参数法

②拆项法

③整体代换法

四、二次根式
01二次根式的概念
（1） 概念
一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，“√”叫做二次根号，二次根号下的数a叫做被开方数
（2） 拓展
①从形式上看，二次根式必须有二次根号，如√a+1，√x+y，√16等
②被开方数a可以是数，也可以是代数式。a如果是数，这个数一定是非负数；如果a是代数式，则这个代数式必须是非负的，否则√a没有意义
③因为√a表示非负数a的算术平方根，所以√a≥0
02二次根式的性质
（1） 二次根式的性质
①非负性：二次根式中被开方数一定是非负 数(a≥0)，并且二次根式√a≥0
②非负数的算术平方根的平方等于它本身。(√a)²=a，(a≥0)
③
（2） 对性质的理解和应用
①性质(√a)²=a(a≥0)的应用：可把任何一个非负数写成平方的形式，即可逆用。如5=(√5)²，故因式分解可在实数范围内进行，如x²-2=(x+√2)(x-√2)
②√a²=lal这一性质的主要应用： a.正向应用于二次根式的化简与计算； b.逆向应用，可将根号外的非负因式移到根号内。如2√2=√(2²×2)=√8
（3） (√a)²与√a²的比较
①相同点
a.(√a)²≥0，√a²≥0都是非负数
b.当a≥0时，(√a)²=√a²
②不同点
a.读法不同：(√a)²读作a的算术平方根的平方，√a²读作a的平方的算术平方根
b.运算顺序不同：(√a)²是先开方后平方，√a²是先平方后开方
c.取值范围不同：(√a)²中a的取值范围为a≥0，√a²中a的取值范围是全体实数.
03移因式于根号内、外的方法
（1） 把根号外的数移到根号内的方法
①当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内；
②当根号外的数是一个正数时，直接把它平方后移到根号内，如a√b=√(a²b)(a>0)，a√b=-√(a²b)(a<0)
（2） 把根号内的数移到根号外的方法
当根号内的数是正数时，直接开方移到根号外； 当根号内的数是负数时，开方移到根号外后要添上负号， 如√(a²b)=a√b(a≥0)，√(a²b)=-a√b(a<0)
04分母有理化
（1） 分母有理化的定义
在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去，叫做分母有理化
（2） 分母有理化的方法
①利用分式的基本性质，分子与分母都乘以分母的有理化因式
②把分子分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式
分母有理化的常见形式（见注释）

拓展：分子有理化
把分子中的根号化去，叫做分子有理化
05最简二次根式
（1） 最简二次根式的定义
满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
（2） 二次根式的化简
概念
把二次根式化简为最简二次根式的过程叫做二次根式的化简
化简的一般步骤
①把带分数或小数化成假分数；
②把开方数分解成质因数或分解因式；
③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
④化去根号内的分母，或者化去分母中的根号；
⑤约分
（3） 被开方数相同的最简二次根式(同类二次 根式)
几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫同类二次根式
注意
a.同类二次根式类似于整式中的同类项，如是同类二次根式，√(2x)和5√(2x)也是同类二次根式。 b.几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同，√8,√18等都是同类二次根式，判断的关键是能熟练地化二次根式为最简二次根式
06二次根式的运算
（1） 二次根式的加减法
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变
注意
二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并.如√a+√b 是最简结果，不能再合并
（2） 二次根式的乘除法
定义
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式
法则
①二次根式的乘法法则：
反过来即得到√(ab)=√a·√b(a≥0,b≥0),利用它可以进行二次根式的化简
②二次根式的除法法则：
反过来即得到 ,利用它可以进行二次根式的化简。
注意
a.二次根式的乘法可以推广，即√a√b√c=√(abc)(a≥0,b≥0,c≥0) b.根号内能开得尽方的因式可以移至根号外；反之，移至根号外的因式也可以移至根号内。但应注意，从根号外移至根号内的因式必须是非负数.如-5√3=-√5²×√3=-√75 c.二次根式运算的最后结果必须化成最简二次根式
（3） 二次根式的混合运算
运算法则
二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里(或先去掉括号)。在运算过程中，有理数(式)中的运算律及多项式乘法，乘法公式在二次根式的运算中仍然适用
常见形式

注意
在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”,多个不同类的二次根式的和可以看作”多项式”