有理数

有理数的思维导图，有理数按整数和分数的关系分为整数和分数，按正数、0和负数的关系分类是正有理数、0、负有理数，欢迎来学习有理数知识。

有理数

• 有理数的定义
  • 整数
    • 正整数
    • 0
    • 负整数
  • 分数
    • 正分数
    • 负分数
  • 有理数
    • 整数
    • 分数
  • 其他
    • 无限不循环小数不是有理数。
    • 正数和0统称为非负数。
    • 负数和0统称为非正数。
• 有理数的分类
  • 按整数和分数的关系分类
    • 整数
      • 正整数
      • 0
      • 负整数
    • 分数
      • 正分数
      • 负分数
  • 按正数、0和负数的关系分类
    • 正有理数
      • 正整数
      • 正分数
    • 0
    • 负有理数
      • 负整数
      • 负分数
  • 整数可以看作分母为1的分数。无限循环小数可写成分数形式，所以是有理数。
  • 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的有理数组成有理数的集合。
• 有理数与数轴上点的关系
  • 数轴上的点和有理数
    • 一般地，设a，a是一个正数，则数轴上表示a，a的点在原点的右边，与原点的距离是a，a个单位长度；
    • 表示数-a−a的点在原点的左边，与原点的距离是a，a个单位长度。
  • 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。而且是唯一确定的点，但数轴上的点并不都表示有理数。
    • 1.正有理数可以用原点右边的点表示。
    • 2.0用原点表示。
    • 3.负有理数可以用原点左边的点表示。
• 有理数的大小比较
  • 有理数的大小比较
    • 在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。从而可知：
    • 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
    • 两个负数，绝对值大的反而小。
    • 异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值的大小。
    • 两个数的大小关系反映的是在数轴上的两个点的左右关系，两个数的绝对值的大小关系反映的是数轴上的两个点到原点距离的大小关系。
  • 有理数大小比较的常用结论
    • 在数轴上，右边的数总比左边的数大。
    • 正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。
    • 两个负数大小的比较：由于数轴上左边的数小于右边的数，故两个负数中，绝对值大的反而小。
    • 两个正数大小的比较：绝对值大的数比较大。
  • 有理数大小的比较方法
    • 差值比较法
      • 设a,b，a,b是任意两个有理数，则 a-b>0=a>b a-b<0=a<b a-b=0=a=b
    • 商值比较法
      • 设a,ba,b是两个正有理数，则 b/a>1=a>b b/a=1=a=b b/a<1=a<b
    • 子主题
• 有理数的乘方
  • 乘方的定义
    • 求n，n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在a的n次方中,a叫做底数,n叫做指数。 当将an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。 例如：在8的三次方中，底数是8，指数是3， 读作“8的3次幂
  • 乘方的意义
    • an表示n个a相乘。 一个数可以看作这个数本身的一次方。如3就是3的1次方 ，指数是1通常省略不写。 当底数是负数（或分数）时，应将底数用“(()”括起来。 任何不是0的数的零次幂都等于1。 注意分辨(-a)n与(−a) （-a) 的意义是“-a的n次方”，而-an的意义是“a的n次方的相反数”，两者不可混淆。
  • 乘方运算法则
    • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
    • 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次数幂都是0。
  • 有理数的混合运算顺序
    • 先乘方，再乘除，最后加减。 同级运算，从左到右进行。 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
• 有理数的乘除法
  • 有理数的乘法法则
    • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0，0相乘，都得0。 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘。 当因数中有负号时，必须用括号括起来，须用括号括起来，如-2与-4的乘积，应写为(−2)×(−4)。 在进行乘法运算时，若有带分数要先转化为假分数形式，以便于约分。
  • 多个有理数相乘
    • 几个不是0的数相乘 ​ 负因数的个数是偶数时,积是正数; 负因数的个数是奇数时,积是负数. ​ 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
  • 有理数乘法的运算律
    • 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
    • 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc)
    • 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(b+c)=ab+ac)
    • 在用乘法交换律交换因数的位置时，要连同符号一起交换a。 用乘法分配律时，不要漏乘，不要弄错符号，如-a(b-c)=-ab+(-a)(-c)=ac-ab
    • 进行乘法运算时，一般把小数化为分数，带分数化为假分数，能约分的要先约分。 乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘，如 abcd=d(ac)b.
    • 一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加。如 a(b+c+d)=ab+ac+ad.
  • 有理数除法法则
    • 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即 a÷b=a×b/1 从有理数除法法则，容易得出： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
  • 有理数的乘除混合运算
    • 有理数的乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序计算。 结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数的个数是奇数时结果为负。 化成乘法后，应先约分再相乘。
  • 有理数的加减乘除混合运算
    • 有理数的四则混合运算，应遵循有括号先算括号（一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号）里面的，无括号则按“先乘除，后加减”的顺序计算。
• 有理数的加减法
  • 有理数的加法法则
    • 一、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
    • 二、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
    • 三、互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加，仍得这个数。 一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值。 当后一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如(-2)+(-1)(−2)+(−1)中-1−1必须用括号括起来，不要写成-2+-1−2+−1这样的形式。
  • 有理数加法的运算律
    • 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变
    • 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
    • 加法交换律交换加数的位置时，各加数连同其符号一起交换。 几个数相加，运用运算律可使运算简便，可任意交换加数位置，也可先把其中的任意几个有理数相加。
  • 有理数的减法法则
    • 减去一个数，等于加这个数的相反数。
    • 对于有理数的减法运算，应先转化为加法，再根据有理数加法法则计算，即加法与减法是互逆运算。
    • 将减法变为加法时，注意“两变”和“一不变”。 “两变”即改变运算符号和改变减数的性质符号（变为相反数）； “一不变”即被减数和减数的位置不能变换。 两数相减，当被减数大于减数时，差为正数；当被减数小于减数时，差为负数。
  • 有理数的加减混合运算
    • 有理数的加减混合运算的实质是加法运算。有理数的加减混合运算的步骤， 一、把加减混合运算统一成加法运算； 二、写成省略加号，括号的各数和的形式； 三、利用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算。
  • 有理数加法运算的简便方法
    • 反数结合法：互为相反数的两个数，可以先相加。 同分母分数结合法：同分母的分数可以先相加。 凑整法：几个数相加得整数或数值比较小时，可先分别相加。 同号结合法：符号相同的数可以先相加。 拆分法：带分数可拆成整数和真分数两部分再相加。 同形结合法：整数与整数，小数与小数相加。