随机事件与概率

随机事件是指具有不确定性的事件。事件概率指某一事件发生的可能性大小。概率分配是指将所有可能事件的概率总和为1。独立事件指多个事件之间互不影响的事件。互斥事件指多个事件互不重叠的事件。条件概率是指在已知一些信息的情况下，某一事件发生的概率。伯努利试验是指只有两个可能结果的重复实验。概率模型是用来描述随机现象的数学模型。计数原理是指用数学方法对事件个数进行计数的原理。组合计算是指从一组元素中选择若干个元素进行排列组合的计算方法。

随机事件与概率

• 在给定条件下的不确定事件
  • 抛硬币的结果可以是正面或反面
    • 例如，可能会抛出正面
    • 例如，可能会抛出反面
  • 扔骰子的结果可以是1到6中的任意一个数字
    • 例如，可能会掷出1
    • 例如，可能会掷出6
• 通过一系列试验产生的结果，具有不确定性
  • 例如，一场篮球比赛中哪支球队将获胜
    • 例如，可能会是主队获胜
    • 例如，可能是客队获胜
  • 例如，购买一张彩票，中奖号码
    • 例如，可能中奖号码是8、11、15、22、30、34
    • 例如，可能中奖号码是1、7、19、27、31、42
• 事件概率
  • 描述事件发生的可能性
    • 事件 A 发生的可能性可以用 P(A) 表示
      • 例如，抛硬币正面朝上的概率为 0.5
      • 例如，抛硬币反面朝上的概率为 0.5
    • 事件 B 发生的可能性可以用 P(B) 表示
      • 例如，掷骰子出现数字1的概率为 1/6
      • 例如，掷骰子出现数字6的概率为 1/6
• 概率分配
  • 所有可能的事件组合的概率总和为1
    • 抛硬币正面朝上和反面朝上的概率总和为1
      • 例如，P(正面) + P(反面) = 1
    • 掷骰子出现数字1到6的概率总和为1
      • 例如，P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1
• 独立事件
  • 事件之间的发生与其他事件无关
    • 抛硬币两次出现正面朝上的概率
      • 例如，P(正面, 正面) = P(正面) * P(正面)
    • 掷骰子两次出现数字1的概率
      • 例如，P(1, 1) = P(1) * P(1)
• 互斥事件
  • 事件之间的发生相互排斥，不能同时发生
    • 抛硬币出现正面朝上或反面朝上的概率
      • 例如，P(正面或反面) = P(正面) + P(反面)
    • 掷骰子出现奇数或偶数的概率
      • 例如，P(奇数或偶数) = P(奇数) + P(偶数)
• 条件概率
  • 在给定其他事件发生的条件下，事件发生的概率
    • 在已知抛硬币结果为正面的情况下，再次抛出正面的概率
      • 例如，P(正面|已知正面) = P(正面, 正面) / P(已知正面)
    • 在已知掷骰子结果小于等于3的情况下，再次掷出小于等于3的概率
      • 例如，P(小于等于3|已知小于等于3) = P(小于等于3, 小于等于3) / P(已知小于等于3)
• 伯努利试验
  • 一系列独立重复的二项试验
    • 抛硬币重复投掷10次，计算正面出现的次数
      • 例如，正面出现0次的概率是多少
      • 例如，正面出现10次的概率是多少
    • 掷骰子重复掷10次，计算出现数字1的次数
      • 例如，出现0次1的概率是多少
      • 例如，出现10次1的概率是多少
• 概率模型
  • 描述随机事件的数学模型
    • 用概率分布描述事件发生的可能性
      • 例如，二项分布描述抛硬币结果出现正面的可能性
      • 例如，均匀分布描述掷骰子结果出现每个数字的可能性
    • 用期望和方差描述事件结果的平均表现和扩散程度
      • 例如，抛硬币出现正面的期望值为0.5，方差为0.25
      • 例如，掷骰子出现数字1的期望值为1/6，方差为35/216
• 计数原理
  • 用于计算组合和排列的数学原理
    • 乘法原理：如果一个实验由 k 个步骤组成，每个步骤有 n1、n2、...、nk 种结果，那么实验的总结果数为 n1 * n2 * ... * nk
      • 例如，抛硬币连续抛掷10次，总共有 2^10 = 1024 种结果
    • 加法原理：如果一个实验可以分解为两个不相交的步骤，那么实验的总结果数为两个步骤结果数之和
      • 例如，抛硬币连续抛掷10次，正面朝上次数为0或1或2或...或10的结果数为 C(10,0) + C(10,1) + C(10,2) + ... + C(10,10)
• 组合计算
  • 用于计算从 n 个不同元素中选择 k 个元素的方式数
    • 例如，从52张扑克牌中选择5张牌的方式数为 C(52,5)
    • 例如，从20个学生中选择3个代表的方式数为 C(20,3)