概率

这是一篇关于概率的思维导图，主要内容包括：随机事件与概率，事件的相互独立性，频率与概率。介绍详细，描述全面，希望对感兴趣的小伙伴有所帮助！

概率

• 随机事件与概率
  • 有限样本空间与随机事件
    • 认识随机现象
      • 在一定条件下不能事先预知结果，且各个结果发生的频率都具有稳定性的现象
    • 随机试验的概念
      • 对随机现象的实现和它的观察称为随机试验
        • 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点
        • 全体样本点的集合称为试验E的样本空间W
          • 样本空间W的子集称为随机事件，简称事件
            • W为必然事件
            • Æ为不可能事件
          • 只包含一个样本点的事件称为基本事件
          • 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
        • 现在研究的范围仅限于有限样本空间
    • 随机试验的特征
      • 结果有限性、不可预知性、频率稳定性
  • 事件关系和运算
    • 包含
      • A发生导致B发生
        • AÍB
    • 并事件（和事件）
      • A与B至少一个发生
        • A+B或AÈB
    • 交事件（积事件）
      • A与B同时发生
        • AB或AÇB
    • 互斥（互不相容）
      • A与B不能同时发生
        • AÇB=Æ
    • 互为对立
      • A与B有且仅有一个发生
        • AÇB=Æ，AÈB=W
  • 古典概型
    • 概率
      • 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率
        • 法国数学家拉普拉斯——古典概率模型
          • 遇到问题的复杂程度增加，许多随机现象不符合古典概型
          • 从不同的等可能性角度可以算出不同的概率
            • 贝特朗悖论
              • ├─ 问题：随机弦长超过√3的概率
              • ├─ 原因：定义不明确、均匀分布模型不同
              • ├─ 三种方法
              • 解法一：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布
                • 。
              • 解法二：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。此时假定端点在圆周上均匀分布。
              • 解法三： 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定。
              • ├─ 解决关键：明确均匀分布定义
              • └─ 启示：概率公理化、样本空间严谨性
        • 瑞士数学雅各布第一·伯努利——频率学派
        • 1777法国科学家布丰提出著名的“投针问题”，引入几何概率
          • 蒲丰投针问题是18世纪法国数学家乔治-路易·勒克莱尔·德·蒲丰（Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon）提出的经典几何概率问题。它通过简单的实验设计，将概率问题与圆周率π的估算联系起来，开创了蒙特卡洛方法（通过随机试验求解数学问题）的先河。
        • 1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫——概率公理化结构
        • 贝叶斯学派
    • 古典概率模型
      • 有限性；等可能性
        • 一般地，设试验E是古典概型，样本空间W包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）=k/n=n(A)/n(W)
  • 概率的基本性质
    • 非负性
      • 对于任意的事件A，P(A)>=0
    • 规范性
      • 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(W)=1,P(Æ)=0
    • 可加性
      • 如果事件A与B互斥，那么P(AÈB)=P(A)+P(B)
        • 事件A和事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1
          • 任意的事件A、B,有P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AÇB)
    • 单调性
      • 如果AÍB，那么P(A)<=P(B)
• 事件的相互独立性
  • 事件相互独立的定义
    • 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
  • 互斥事件与独立事件的关系
    • 排除必然事件和不可能事件，互斥不独立，独立不互斥
  • 必然事件和不可能事件
    • 与任何事件均独立
  • 对立事件与独立事件的关系
    • 事件A、B独立，则与他们的对立事件，两两独立
• 频率与概率
  • 频率的稳定性
    • 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们可以用频率估计概率P(A)
  • 随机模拟
    • 利用计算器或计算机软件可以产生随机数，可以模拟某些随机试验，达到快速地进行大量重复试验的目的，从而用频率估计概率。我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法。
• 注意：本章中应用了类比、归纳等思想。类比函数的研究，确定概率的研究路径，发现概率的性质；类比集合的关系和运算理解事件的关系和运算；对概率基本性质的研究采用由特殊到一般的归纳方式。