集合（高一数学必修一）

集合（高一数学必修一）的思维导图，一般的我们把研究对象统称为元素，把元素组成的总体叫做集合（set）（简称集）。

集合

集合的定义：一般的我们把研究对象统称为元素，把元素组成的总体叫做集合（set）（简称集）

集合元素的特征：确定性，互异性，无序性

集合中的元素是确定的，设a是一个给定的集合x是某一具体对象则x或者是a的元素或者不是a的元素，两种情况必有一种且只有一种成立

集合中的元素是互异的，同一集合中不应重复出现同一元素

集合中的元素是无序的，只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等

集合的种类

有限集：含有有限个元素的集合

无限集：含有无限个元素的集合

空集：不含任何元素的集合，记为∮

集合的记号和常见数集

集合的记号：集合用大写字母来表示，集合元素用小写字母来表示，元素a属于集合A表示为a∈A元素a不属于集合A表示为a∉A

常见数集：自然数集（非负整数集）：N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R

集合的表示方法

列举法：把集合的所有元素一一列举出来，写在大写括号内表示集合的方法，一般形式为{x，y，z}

描述法：把集合a中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的元素表示为{x∈A丨P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法(当集合a已经很明确时，可以表示为{xlP（x）}）。其中x为代表元素，P（x）表示代表元素x满足的特性

子集 全集 补集

子集概念反映的是两个集合之间的包含关系

定义：对于两个集合A、B，如果集合a中的任何一个元素，都是集合b的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。即若a∈A→a∈B

性质：

任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A

空集是任何集合的子集，即∮⊆A

传递性：若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C

真包含于集合相等。一般讲，集合与集合之间的包含关系分为两种情况：

集合相等：对于两个集合A、B，如果集合A⊆B，B⊆A，我们就称集合A与集合B相等。记作A=B

真子集：如果A⊆B且A≠B，我们就称集合A是集合B的真子集，记作A⊂≠（因为输入法没有这个符号这个符号是上下关系第一个在上面，不等号在下面）B

全集与补集

全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U

补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的元素集合，称为集合A相对于全集U的补集简称集合A的补集或余集，记作CuA(此处的u是大写，为了方便表示其大小关系在本思维导图中用了小写)

即CuA={x丨x∈U且x∉A}

主题

交集：有所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集记作A∩B即A∩B={xlx∈A且x∈B}

并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作AUB即AUB={xlx∈A或x∈B}

交集并集的运算性质

A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A

AUA=A，AU∅=A，AUB=BUA

A∩B⊆A⊆AUB，A∩B⊆B⊆AUB

若A∩B=A，则A⊆B；若AUB=A，则A⊇B，反之亦真

集合中元素的个数

若集合A有n个元素，即card(a)=n，则A的子集个数为2的n次方个。A的真子集为2的N次方- 1个。A的非空子集为2的N次方-1个。A的非空真子集为2的N次方减2个

Card（AUB）=Card A+card B-cardA∩B Card（A∩B）≤Card A+card B

注

若x∈A∩B则x∈A且x∈B

若x∈AUB这包含三种情况

x∈A且x∈B

x∈A且x∉B

x∉A且x∈B