线性代数思维导图

下图整理了与大学线性代数相关的读书笔记，内容涵盖极大无关组、线性关系、过度矩阵、二次型的定义、二次化标准等内容。希望能够对小伙伴们有所帮助！

特征值和特征向量

ALL

向量空间

极大无关组

定义

无关:不过大 表出（即等价）：确定极大

求法

元素个数为r的无关部分组

充要

阶梯

化为阶梯阵，秩不变 a****** b****** c*** →a=***,b=***,c=***。abc为非自由变量，所以无关； 而其他自由变量可由a、b、c表出。比如，a= dertuio,让除了d外的自由变量为1，即可表示d。

性质定理

存在性

除0向量组都由极大无关组

子主题

秩

性质定理

相关r<，无关r=

i可由ii表出，ri<=rii

0组r=0

r(ab)<=r(a)\r(b)<=r(a|b)<=r(a)+r(b)

r(a)=r(aT)=r(aaT)

线性关系

线性相关

判断法

部分关，全部关

充分条件：方阵|行列式|=0（可逆）

被表出的向量组个数多，则关

n+1个n维组

线性表出

判断法

单个向量

{α……}无关，{α……+β}相关，则β可由{α}表出

向量组

极大线性无关来表出

线性无关

性质定理

添加仍无关

无关n维向量组每个向量相同位置再分别添m个分量，则所得m+n维仍无关 即增加约束条件,当然更无关了

被表出的无关个数少

判断法

过渡矩阵

定义

Rn的两组基，A、B满足A=BX则X为B到A的过渡矩阵

求法：类似求逆矩阵

基和维数

基

定义

线性无关生成集

维数

定义

任一组基所含向量个数

生成集，生成的集，子空间

定义

Col Nul Row

定义

所有列向量，（Ax=0)的解向量，行向量构成的空间

rC=rR=r

线性方程组有解的条件

A为系数矩阵，m×n

Ax=0非零解

充要条件

m×n中r<n

基础解系

定义

Ax=0的解空间的一组基

Ax=β

唯一解

rA=n

无穷解

rA<n

有解

rA=r(A|β）

特征值和特征向量

AX=lX

特征值l

性质

幂lm是Am

A可逆，则m随意；m>0则A随意

多项式

g（l）是g（A）

转置不变

定理

k重l对应基础解系最多k个特征向量

特征向量X

性质

数乘

加法

线性

不同特征值的特征向量正交

特征多项式|l-EA|

定理

åaii=ål=trA

|A|=Õl

求解过程

给定A 化出入E-A |入E-A|=0求出入i 每个入带进（入E-A）X=0得矩阵 求出X，并可求出一组基础解系

重要定理（整系数多项式有理解）：常数项的因子/首项的因子

相似

相似对角化

与对角阵相似~diag

定义

充要条件

n个线性无关特征向量

每个多重（k重）特征值基础解系有k个组

子主题

相似

定义

P-1AP=B

性质A~B

传递

幂

|B|=|A|

特征多项式相等

trA=trB

数量阵只与自己相似

实对称矩阵的正交相似对角化

内积

正交

α，β 内积为0

长度

单位矩阵（长度为1）

正交矩阵

定义：AAT=E

充要：矩阵中A=（a1,a2...）为规范正交组

正交组

向量组αn，βn： 不含0 两两正交

规范正交组（单位向量构成的正交组）

规范正交基

向量组中任意（ai，aj）=1，i=j 0，i!=j 则该组为Rn的规范正交基

定理

Rn中的任意正交组线性无关

实对称矩阵

aij∈R AT=A

定理

l∈R

不同特征值的X正交（包含线性无关）

A为实对称，则必存在正交Q，QAQ-1为对角阵

对角阵为【入1 入2 * * 入n】 Q=【X1，X2 *****】 Xi为入i对应的特征向量

施密特正交规范法

综述：线性无关α→正交β→规范正交γ 法则：βm=αm-（αm在每个β上的投影向量之和）

二次型

定义

合同

A=PT*B*P 合同具有传递性

二次型

f（x1，x2……，xn）=X A XT

标准型

无交叉项的二次型

规范型

系数都为+-1的标准型

正定

正定：二次型的值>0 正定矩阵：

顺序主子式

n阶A的前K行前K列构成的子式称为 k阶顺序主子式

二次化标准

正交

X=QY（Q为正交阵）→diag=YT*A*Y

优点

内积不变：（X1，X2）=(Y1,Y2)

长度不变：特殊的内积不变

二次曲面的形状不变

配方

完全平方

平方差（消除交叉项）

正定等“类型”

定理

可逆替换（X=PY），二次型类型不变

惯性定理

二次成规范后，正负惯性指标不变

子主题

正定矩阵

f（）正定，则A称作正定矩阵

充要

A的特征值全正

存在可逆P，PTAP=E

存在可逆P，A=PPT

各界顺序主子式>0

A半正定 等价 存在实方阵P，A=PPT

推论（A正定）

aii>0,|A|>0

证明去f（0，0，0，0，1，0，0……0）

A-1正定，A*正定

子主题