线性代数思维导图

下图整理了与大学线性代数相关的读书笔记，内容涵盖极大无关组、线性关系、过度矩阵、二次型的定义、二次化标准等内容。希望能够对小伙伴们有所帮助！

特征值和特征向量

• ALL
  • 向量空间
    • 极大无关组
      • 定义
        • 无关:不过大 表出（即等价）：确定极大
      • 求法
        • 元素个数为r的无关部分组
          • 充要
        • 阶梯
          • 化为阶梯阵，秩不变 a****** b****** c*** →a=***,b=***,c=***。abc为非自由变量，所以无关； 而其他自由变量可由a、b、c表出。比如，a= dertuio,让除了d外的自由变量为1，即可表示d。
      • 性质定理
        • 存在性
          • 除0向量组都由极大无关组
        • 子主题
      • 秩
        • 性质定理
          • 相关r<，无关r=
          • i可由ii表出，ri<=rii
          • 0组r=0
          • r(ab)<=r(a)\r(b)<=r(a|b)<=r(a)+r(b)
          • r(a)=r(aT)=r(aaT)
    • 线性关系
      • 线性相关
        • 判断法
          • 部分关，全部关
          • 充分条件：方阵|行列式|=0（可逆）
          • 被表出的向量组个数多，则关
          • n+1个n维组
      • 线性表出
        • 判断法
          • 单个向量
            • {α……}无关，{α……+β}相关，则β可由{α}表出
          • 向量组
            • 极大线性无关来表出
      • 线性无关
        • 性质定理
          • 添加仍无关
            • 无关n维向量组每个向量相同位置再分别添m个分量，则所得m+n维仍无关 即增加约束条件,当然更无关了
          • 被表出的无关个数少
        • 判断法
    • 过渡矩阵
      • 定义
        • Rn的两组基，A、B满足A=BX则X为B到A的过渡矩阵
      • 求法：类似求逆矩阵
    • 基和维数
      • 基
        • 定义
          • 线性无关生成集
      • 维数
        • 定义
          • 任一组基所含向量个数
      • 生成集，生成的集，子空间
        • 定义
      • Col Nul Row
        • 定义
          • 所有列向量，（Ax=0)的解向量，行向量构成的空间
        • rC=rR=r
    • 线性方程组有解的条件
      • A为系数矩阵，m×n
        • Ax=0非零解
          • 充要条件
            • m×n中r<n
          • 基础解系
            • 定义
              • Ax=0的解空间的一组基
        • Ax=β
          • 唯一解
            • rA=n
          • 无穷解
            • rA<n
          • 有解
            • rA=r(A|β）
  • 特征值和特征向量
    • AX=lX
      • 特征值l
        • 性质
          • 幂lm是Am
            • A可逆，则m随意；m>0则A随意
          • 多项式
            • g（l）是g（A）
          • 转置不变
        • 定理
          • k重l对应基础解系最多k个特征向量
      • 特征向量X
        • 性质
          • 数乘
          • 加法
          • 线性
          • 不同特征值的特征向量正交
      • 特征多项式|l-EA|
        • 定理
          • åaii=ål=trA
          • |A|=Õl
    • 求解过程
      • 给定A 化出入E-A |入E-A|=0求出入i 每个入带进（入E-A）X=0得矩阵 求出X，并可求出一组基础解系
      • 重要定理（整系数多项式有理解）：常数项的因子/首项的因子
  • 相似
    • 相似对角化
      • 与对角阵相似~diag
      • 定义
      • 充要条件
        • n个线性无关特征向量
          • 每个多重（k重）特征值基础解系有k个组
      • 子主题
    • 相似
      • 定义
        • P-1AP=B
      • 性质A~B
        • 传递
        • 幂
        • |B|=|A|
        • 特征多项式相等
          • trA=trB
        • 数量阵只与自己相似
    • 实对称矩阵的正交相似对角化
      • 内积
        • 正交
          • α，β 内积为0
        • 长度
          • 单位矩阵（长度为1）
      • 正交矩阵
        • 定义：AAT=E
        • 充要：矩阵中A=（a1,a2...）为规范正交组
      • 正交组
        • 向量组αn，βn： 不含0 两两正交
        • 规范正交组（单位向量构成的正交组）
        • 规范正交基
          • 向量组中任意（ai，aj）=1，i=j 0，i!=j 则该组为Rn的规范正交基
        • 定理
          • Rn中的任意正交组线性无关
      • 实对称矩阵
        • aij∈R AT=A
        • 定理
          • l∈R
          • 不同特征值的X正交（包含线性无关）
          • A为实对称，则必存在正交Q，QAQ-1为对角阵
            • 对角阵为【入1 入2 * * 入n】 Q=【X1，X2 *****】 Xi为入i对应的特征向量
        • 施密特正交规范法
          • 综述：线性无关α→正交β→规范正交γ 法则：βm=αm-（αm在每个β上的投影向量之和）
  • 二次型
    • 定义
      • 合同
        • A=PT*B*P 合同具有传递性
      • 二次型
        • f（x1，x2……，xn）=X A XT
      • 标准型
        • 无交叉项的二次型
      • 规范型
        • 系数都为+-1的标准型
      • 正定
        • 正定：二次型的值>0 正定矩阵：
      • 顺序主子式
        • n阶A的前K行前K列构成的子式称为 k阶顺序主子式
    • 二次化标准
      • 正交
        • X=QY（Q为正交阵）→diag=YT*A*Y
        • 优点
          • 内积不变：（X1，X2）=(Y1,Y2)
          • 长度不变：特殊的内积不变
          • 二次曲面的形状不变
      • 配方
        • 完全平方
        • 平方差（消除交叉项）
    • 正定等“类型”
      • 定理
        • 可逆替换（X=PY），二次型类型不变
        • 惯性定理
          • 二次成规范后，正负惯性指标不变
        • 子主题
      • 正定矩阵
        • f（）正定，则A称作正定矩阵
        • 充要
          • A的特征值全正
          • 存在可逆P，PTAP=E
          • 存在可逆P，A=PPT
          • 各界顺序主子式>0
          • A半正定 等价 存在实方阵P，A=PPT
        • 推论（A正定）
          • aii>0,|A|>0
            • 证明去f（0，0，0，0，1，0，0……0）
          • A-1正定，A*正定
      • 子主题