高中数学：空间几何体

高中数学人教A版必修二第一章空间几何体

空间几何体

• 1.空间几何体的结构
  • 空间几何体
    • 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体； 旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条固定直线旋转所形成的封闭几何体。
  • 棱柱的结构特征
    • 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
    • 相关概念：底面（底）：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共点
    • 分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱......
    • 补充：（1）棱柱的地面互相平行 （2）若一个平行六面体的两个对角面都是矩形，则这个平行六面体一定是直平行六面体。 （3）棱柱的各个侧面都是平行四边形 （4）棱柱的两个底面是全等的多边形
    • 辨析方法： （1）扣定义：a.看”面“，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形。b.看”线“，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行。 （2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除。
  • 棱锥的结构特征
    • 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，有这些面所围成的多面体叫做棱锥。
    • 相关概念：底面（底）：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共点
    • 分类：按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥......
  • 棱台的结构特征
    • 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台。
    • 相关概念：上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点
    • 分类：由三棱锥、四棱锥。五棱锥......截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台......
  • 圆柱的结构特征
    • 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
    • 相关概念：轴：旋转轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
  • 圆锥的结构特征
    • 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
    • 相关概念：轴：旋转轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
  • 圆台的结构特征
    • 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 旋转法定义：以直角梯形中垂直于上下底的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴转一周而形成的旋转体叫做圆台。
    • 相关概念：轴：旋转轴 底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
  • 球的结构特征
    • 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
    • 相关概念：球心：半圆的圆心 半径：半圆的半径 直径：半圆的直径
  • 简单几何体的结构特征
    • 定义：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单几何体。 常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的。
    • 基本形式： （1）由简单几何体拼接而成 （2）由简单几何体截去或挖取一部分而成
• 2.空间几何体的三视图和直观图
  • 中心投影与平行投影
    • 投影的定义
      • 定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。
      • 相关概念：投影线：光线 投影面：留下物体影子的屏幕
    • 投影的分类
      • 中心投影
        • 定义：光由一点向外散射形成的投影
        • 特征：投影线交于一点
      • 平行投影
        • 定义：在一束平行光线照射下形成的投影
        • 特征：投影线平行
        • 分类：正投影和斜投影
  • 空间几何体的三视图
    • 定义
      • 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图。
    • 画法规则
      • 正、俯视图都反应物体的长度——”长对正“ 正、侧视图都反应物体的高度——”高平齐“ 侧、俯视图都反应物体的宽度——”宽相等“
    • 排列顺序
      • 先画正视图，侧视图在正式图的右边，俯视图在正视图的下方。
  • 空间几何体的直观图
    • 斜二测画法
      • 步骤
        • （1）画轴：在已知图形中去互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于O'，且使Ðx'o'y'=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。（建立坐标系，定水平面）
        • （2）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴。（与坐标轴平行的线段保持平行）
        • （3）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。（水平线段等长，纵坐标线段减半/横不变，纵折半）
      • 立体图形直观图的画法规则
        • 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x'o'y'垂直的轴o'z'，且平行于o'z'的线段长度不变，其它同平面图形的画法。
      • 面积之比
        • 直观图：原图=Ö2：4
• 3.空间几何体的表面积与体积
  • 表面积：多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。
  • 棱柱、棱锥、棱台的表面积
    • 侧面积：将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积。
    • 表面积：棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和。
  • 圆柱、圆锥、圆台的表面积
    • 圆柱：底面积：S底=pr2 侧面积：S侧=2prl 表面积：S=2pr2+2prl=2pr(r+l)
    • 圆锥：底面积：S底=pr2 侧面积：S侧=prl 表面积：S=pr2+prl=pr(r+l)
    • 圆台：上底面面积：S上底=pr'2 下底面面积：S下底=pr2 侧面积：S侧=pl(r'+r) 表面积：S=p（r'2+r'l+rl+r2)
  • 柱体、锥体、台体的体积
    • 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 体积：V柱体=Sh（S为柱体的底面积，h为柱体的高）
    • 锥体：圆锥和棱锥统称为锥体 体积：V锥体=1/3Sh（S为锥体的底面积，h为锥体的高）
    • 台体：圆台和棱台统称为台体 体积：V台体=1/3（S'+ÖS'S+S)h（S'，S分别为台体的上下底面面积，h为台体的高）
  • 球的表面积和体积
    • 表面积：S=4pR2（R为球的半径）
    • 体积：V=4/3pR3（R为球的半径）
  • 求体积的几种方法
    • 1.分割求和法
      • 把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积求和。
    • 2.补形法
      • 把不规则形体补成规则形体，不熟悉形体补成熟悉形体，便于计算其体积。
      • （1）将正四面体补为正方体。
      • （2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体。
      • （3）将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体。
      • （4）将三棱锥补成三棱柱或平行六面体。
      • （5）将三棱柱不成平行六面体。
      • （6）将台体补成锥体。
    • 3.等积转化法
      • 从不同的角度看待原几何体，有不同的底面和高，利用体积不变的原理，求几何体的体积。一般常用在三棱锥中。