材料力学-综合章节

这一部分是关于应力状态-组合变形-压杆稳定-能量方法-超静定的知识点，原本有很多页面不便分享，于是把部分章节放在一页上了。在线上学习的过程中记录笔记，思路也清晰了很多，与大家一起分享~内容较多，如有错漏，多多指正~

第八章 组合变形

• 大前提
  • 构件在小变形和服从胡克定理的条件下，叠加原理是成立的。
  • 所有载荷作用下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的叠加，且与各个载荷的加载次序无关。
• 处理方法
  • ①将荷载分解简化成与基本变形对应的等效静力荷载。
  • ②分别独立计算各种基本变形时构件的内力、应力、应变等。（假设：各个基本变形互不影响）
  • ③叠加。
• 研究方法
  • ①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解
  • ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。
  • ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。
• 组合方式
  • 偏心拉压=轴向拉压+弯曲
    • 偏心拉伸
      • 偏心拉伸时，中性轴不再过截面形心，甚至没有中性轴。
      • 偏心拉伸时，无论什么材料，只有一个危险点即：最大拉应力点。
    • 偏心压缩
      • 对于塑性材料，只有一个危险点即：最大压应力点。
      • 对于脆性材料，则有两个危险点即：最大压应力点和最大拉应力点。
    • 选工字钢型号：一般弯曲应力远大于拉压应力，可以先按照弯曲强度试算。
  • 斜弯曲
    • 一、斜弯曲：杆件弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。
    • 二、斜弯曲的研究方法：
      • 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲（双向弯）。
      • 2.横截面为矩形或工字形（有棱角），则先计算应力后叠加：先计算绕两个形心轴的弯曲正应力，然后叠加应力并确定最大拉、压正应力，根据材料进行强度校核。
      • 横截面为园形或椭圆形（无棱角），则先合成弯矩后计算应力：先用双箭头矢量表示绕两个轴的弯矩，然后按照矢量合成法则确定合弯矩，然后确定最大拉、压正应力点，根据材料进行强度校核。
        • 矢量线
  • 拉扭弯扭
    • 内力分析：拉-扭组合变形
      • 找危险截面
        • 找危险点
    • 对于脆性材料，宜采用第一强度理论。
    • 对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。
      • 三算出来偏于安全
      • 对于圆截面
• 十一章 超静定结构
  • 基本概念于研究范围
    • 超静定结构（Statically Indeterminate System）：支座反力或结构内力不能由静力平衡方程完全确定的结构称为超静定结构。
    • 超静定结构，可以分为：（1）外力超静定结构；（2）内力超静定结构；（3）混合超静定结构。
    • 超静定次数：结构总的约束反力数与独立平衡方程数的差
    • 平面杆系的超静定问题、各杆轴线位于同一平面、外载荷与杆轴线位于同一平面
  • 常用方法
    • 解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统的基本静定系，或相当系统。
      • 相当系统的受力和变形与原超静定结构完全相同
    • 变形比较法：主要用于简单超静定结构
      • 外力超静定：建立原超静定系统的基本静定系：解除多余约束，代之以多余约束反力；
      • 内力超静定系统：需要解除杆件或杆系的内部约束。
      • 建立补充方程：根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程；
      • 联立求解：联立静力平衡方程、补充方程进行求解。
    • 力法正则方程：对于求解超静定次数比较高的结构，使用力法正则方程更为规范，更显优越性
      • 表示力p单独作用下引起的B点的竖向位移
      • 表示力x单独作用下引起的B点的竖向位移
      • • 解除约束，建立相当系统；
        • 建立变形协调关系，写成正则方程的形式
        • 能量法求位移；
        • 代入力法正则方程求解。
      • 3个图
    • 三弯矩方程：用于求解连续梁的问题
• 第九章 压杆稳定
  • 概念
    • 压杆丧失其直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡，称为丧失稳定，简称失稳，也称屈曲。
    • 临界压力：能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力（压杆保持直线平衡状态所能承受的最大压力）。
    • 结构杆件发生失稳的必要条件
      • （1）结构必须是由细长或薄壁构件（长杆、薄板或壳体）组成
      • （2）构件必须承受压载荷作用
      • （3）压载荷必须达到或超过失稳的临界载荷
  • 推导
    • • 临界作用下的弯矩方程
        • 通解
        • 边界条件
        • 解得，n为整数
        • • n为半波数
      • 欧拉公式
        • 适用条件
          • 理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）
          • 线弹性，小变形
          • 两端为铰支座
        • I应当选取最小惯性矩
  • 一般欧拉公式
    • I：压杆失稳方向的惯性矩
      • 1、当约束与空间取向无关时（如：球铰链），惯性矩I应当取最小值lmin。
      • 2、当约束与空间取向有关时（如：夹板式铰链），则按照两个互相垂直方向的惯性矩I和相应的约束（u）。分别计算临界压力，取其最小值为杆的Pcr。
    • l：压杆长度
    • μ:长度系数
      • 两端铰支 1
      • 一端固定+一端自由 2
      • 两端固定 0.5
      • 一端固定+一端铰支 0.7
    • μl:有效长度
  • 临界应力
    • λ柔度又称长细比，低碳钢λp=100
      • 惯性半径
    • 细长杆，柔度大
      • 弹性屈曲
      • 200-300Mpa
    • 中长杆，柔度居中
      • 弹塑性屈曲
    • 粗短杆,小柔度杆
      • 不发生屈曲，而发生屈服
    • 临界应力总图
    • 稳定校核条件
      • • nst:实际稳定安全因数
        • [nst]-许用稳定安全因数
        • P-杆内最大工作压力
  • 提高稳定性的措施
    • 增大惯性矩 I
      • 合理选择截面形状
      • 各个方向 i 同时增加
    • 减小压杆的长度l
    • 加强约束，降低μ
    • 增加材料的弹性模量
      • 对于钢，选用高强度钢意义不大
    • 避免过载
• 材料力学 第七章 应力状态
  • 截取微元
    • 原始单元体
      • 三对平行平面上的应力均为已知
    • 主平面
      • τ=0的平面
      • 主应力
        • 主平面上的正应力
        • σ1≥σ2≥σ3
          • σ1第一主应力
          • σ2第二主应力
          • σ3第三主应力
      • 可以证明：通过受力构件内任意一点处存在有三个互相垂直的主平面。由三个主平面组成的单元体称为主单元体。
    • 在一点截取微元时，应尽量使得三对垂直平面上的应力容易确定
  • 该点的应力状态 stress state at a point
    • 过一点的所有方位面上的应力集合
    • 一点的应力可用该点微元各面的应力来描述
    • 研究方法
      • 从构件中围绕所考察的点截取一个三维方向尺寸无限小的正六面体（单元体）。
      • 单元体很小，受力特征可认为：
        • 1.应力在每个侧面上均布；
        • 2.相互平行的面上应力等值、反向。
    • 分类
      • 根据不等于零的主应力的个数
        • 单向应力状态
          • 单元体上，仅有一个主应力不为0
        • 二向应力状态
          • 单元体上，两个主应力均不为0
        • 三向应力状态
          • 单元体上，三个主应力均不为0
      • 根据微元体各面上应力情况
        • 空间应力状态
          • Triaxial Stress State
          • 单元体，在其三对平面上都有应力作用
        • 平面应力状态
          • Biaxial（Plane）Stress State
          • 单元体各平面上的应力，都平行于单元体的某一对平面，而在这一对平面上却没有应力
          • 单向应力状态
          • 纯剪应力状态
  • 解析法
    • 取任意斜裁面假想将单元体分为两部分
    • 符号规定：
      • α：沿X轴逆时针转到截面的外法线方向为正
      • σ：拉正、压负。
      • τ：沿单元边界，顺时针绕单元为正
    • 静力平衡！
      • 以及剪应力互等定理
      • • • 大出小入
        • 求解α0，两个根，相差90°，一正一负
        • 出现极值正应力的两个面相互垂直
      • • 剪应力极值仅对垂直于xoy方向面而言，因而称为面内最大剪应力（maximum shearing stresses in plane）与面内最小剪应力。
        • 二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。
      • 概要
        • 出现极值剪应力的两个面相互垂直
        • 极值剪应力的作用面上，正应力不一定为0
        • tan2α0*tan2α1=-1
        • 两个面相差45°
    • 特殊情况
      • 纯剪应力状态
      • 单向应力状态
  • 空间应力状态
    • 三向应力状态的一般情形——至少有一个主应力及其主方向已知。
    • 研究方法：将已知主方向的作用面作为屏幕面，则立方单元体可以投影成平面矩形。
    • 主单元体中，在平行于三个主方向的作用面中都产生各自面内最大切应力
      • • 1最大切应力作用面为：最大主应力σ1与最小主应力σ3的作用面夹角的一半（45°）
        • 2无论材料点（单元）处于何种应力状态，求最大切应力时，一律按照三向应力状态求解。即：按照最大主应力与最小主应力之差的一半确定。
  • 广义胡克定律
    • 各向同性的线弹性材料发生小变形时，线应变只和正应力有关，而与剪应力无关；剪应变只和剪应力有关，而与正应力无关。
    • 简单应力状态应力应变
      • 三向主应力状态的广义虎克定律
        • 我们应该把X，Y，Z理解成任意三个垂直的方向
        • 单向应力状态三向应变状态
          • 二向应力状态三向应变状态
    • 纯剪应力状态应力应变
      • • 广义胡克定律
  • 强度理论概述
    • 塑性材料 低碳钢
      • 实验
        • 拉伸实验
          • 破坏现象：滑移
        • 扭转实验
          • 破坏现象：切断
        • 原因
      • 第三强度理论
        • 最大剪应力理论
          • 无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元内的最大切应力达到某一共同极限值。
        • 强度条件
      • 第四强度理论
        • 形状改变比能理论
          • 无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元的形状改变比能达到了一个共同的极限值。
        • 强度条件
    • 脆性材料 铸铁
      • 实验
        • 拉伸实验
          • 破坏现象：拉断
        • 扭转实验
          • 破坏现象：拉断
        • 原因
      • 第一强度理论
        • 最大拉应力理论
          • 无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，都是由于微元内的最大拉应力达到了一个共同的极限值。
          • 实验表明：该理论与铸铁，陶瓷，岩石和混凝土等脆性材料的断裂破坏相符合。 但是，该理论未考虑其他两个主应力的影响。对压缩应力较大的状态不适用。
          • 该理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象，但是偏于安全且未考虑第二主应力的影响。
          • 偏高估计应力水平
        • 强度条件
      • 第二强度理论
        • 最大线应变理论
          • 无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元的最大拉应变达到了某个共同的极限值。
        • 强度条件
    • 选用原则
      • 1、简单变形（拉伸、压缩、弯曲、剪切，挤压、扭转），用与其对应的简单强度准则：
      • 2、复杂应力状态用与其对应的强度准则
        • 必须指出，即使是同一材料，在不同的应力状态下也可以有不同的破坏形式。如铸铁在三向受压的应力状态下，也会发生塑性流动破坏。又如低碳钢这类塑性材料，在三向拉伸应力状态下会发生脆性断裂破坏。
      • 特例
        • 1.塑性材料处于三向（或接近三向）等值拉伸状态，使用第一强度理论。
          • 作用于颈缩区单元的应力
        • 2.脆性材料处于三向（或接近三向）等值压缩状态，材料呈现准塑性行为，一般采用形变改变能（畸变能）密度理论。
    • 七、强度计算的步骤：
      • 1、外力分析：确定所需的外力值
      • 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面
      • 3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力
      • 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力然后进行强度校核
• 第十章 能量方法
  • 基本概念
    • 变力功
      • 作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加
    • 常力功
      • 在平衡力系作用下，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力，由于加力点的位移也作功
    • 力和位移都是广义的。Fp可以是一个力，也可以是一个力偶
      • 当Fp是一个力时，对应的都是线位移
      • 当Fp是一个力偶时，对应的位移和都是角位移
    • 应变能
      • 杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变为一种能量，储存于杆件内，从而使弹性杆件具有对外作功的能力，这种能量称为弹性应变能（elastic energy）。
  • 应变能计算
    • 拉伸与压缩
    • 弯曲，忽略剪力影响
    • 扭转
    • 对于杆件长度上各段的内力分量不等的情形，需要分段计算然后相加：
    • 概要
      • 计算U时不能用叠加原理
      • U只与载荷的最终数值有关；与加载方式无关
      • 只能求外力作用点沿外力方向的位移
    • 或者采用积分计算
      • 广义位移与广义力不仅要在种类上匹配，而且还要在位置和方向上匹配
      • 上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且在弹性范围内加载时才适用
  • 互等定理
    • 功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。
    • 若一个力与另一个力数值相等，则一个力在另一个力作用处引起的位移，数值上等于另一个力在这一个力作用处引起的位移
      • 力是广义的，位移也是广义的。
  • 莫尔积分法
    • 推导
    • p0=1，单位载荷
    • 计算方法
      • ①原载荷系统：M（x）
      • ②建单位载荷系统
      • ③积分运算
      • 单位力必须加在所要求位移的那一点、并且沿着所要求位移的方向。
      • 符号
        • +：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同
        • -：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反
    • 应用
      • 1、计算梁发生弯曲变形的位移：
      • 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：
        • rdθ
      • 3、计算圆轴发生扭转变形的位移：
      • 4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：
      • 5、计算桁架节点位移：
      • 6、计算结构组合变形的位移
    • 步骤
      • 1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程
      • 2、建立单位载荷系统：
        • 将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷。
          • 求位移时施加单位力；
          • 求相对位移时施加一对相反单位力。
          • 求转角时施加单位力偶；
          • 求相对转角时施加一对相反单位力偶。
        • 注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。
      • 3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程
      • 4、将回一段的同一种内力方程相乘积分
      • 注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证内力方程分段相同，并且每段自变量的基准点相同
  • 直杆莫尔积分图乘法
    • 等截面直杆
      • 为线性函数
    • • 原载荷系统内力图的面积（一般非线性）
      • 单位载荷系统内力在x=c时的值
        • c是求面积的图的形心坐标
          • 二次抛物线
          • 二次抛物线
    • 应用
      • 1、计算梁发生弯曲变形的位移：
      • 2、计算圆轴发生扭转变形的位移：
      • 3、计算杆发生轴向拉压变形的位移：
      • 4、计算结构组合变形的位移：
      • 概要
        • 图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘。
        • • 原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正
          • 原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负
        • 折线分段、EI不同分段
        • 当M（x）图很复杂时，可将M（x）分成若干个简单图形，分部分图乘
    • 在细长杆的情形下，忽略轴力的影响不会对计算结果产生明显的误差。