行列式

n阶行列式det（aij）中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，余下的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij。n阶行列式det（aij）中，将元素aij的余子式Mij赋予符号（-1）的i+j次幂，称为元素aij的代数余子式，记作Aij。

行列式

• 二阶与三阶行列式
  • 二阶
    • 对角线法则
      • 主积-副积
    • 克拉默法则
      • 若方程组的系数D不等于零，等价于其有唯一解。可表示为X1=D1/D,X2=D2/D
  • 三阶
    • 对角线法则
      • 主积-副积
    • 克拉默法则（三元）
      • 若系数行列式D不等于零，等价于其有唯一解。可表示为X1=D1/D,X2=D2/D,X3=D3/D
• 全排列
  • 标准次序
    • n个不同元素排成一列，从小到大的次序为标准次序，对应排列为标准排列（例：1，2，3，4，5）
  • 逆序对
    • 在排列中有2个元素次序与标准次序不同，称其构成一个逆序对（例：1 3 2 4 5的逆序对（3 2））
  • 逆序数
    • 排列中逆序对总数，可将排列分为奇排列和偶排列
  • 计算逆序数
    • 从第二个元素开始，看前面比其大的元素个数，然后求和
  • 对换
    • 把排列中某2个元素交换位置，其他元素不动，得到新排列的过程。特别的有相邻对换。
      • 性质1
        • 一次对换会改变排列奇偶性
      • 性质2
        • 奇（偶）排列，通过对换奇（偶）数次得到标准排列
      • 性质3
        • 标准排列进行奇（偶）数次对换，得到的排列为奇（偶）排列
• 高阶行列式
  • n阶行列式定义
    • a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n Dn= ... ... ... =∑(-1)Ʈa1p1a2p2...anpn an1 an2 ann n!记作：Ʈ=Ʈ（p1,p2,...pn） ”Ʈ”的值取为列标对应排列的逆序数
  • 主副对角线推广
    • （1）主对角 (2)副对角 λ1 λ1 λ2 λ2 =(-1）n(n-1)/2λ1λ2...λn ... =λ1λ2 ...λn ... Λn λ3
• 行列式性质
  • 行列式性质
    • （1）有零行，值为零
    • （2）转置，值不变
    • （3）换法公式
    • （4）两行等，值为零
    • （5）倍法公式
    • （6）成比例，值为零
    • （7）可拆分
    • （8）消法（倍加）公式
  • 行列式计算类型（化三角形）
    • （1）三阶纯数字行列式
    • （2）三阶带字母行列式
    • （3）“行（列）和等”4阶行列式
    • （4）“行（列）和等”n阶行列式
    • （5）“箭形”行列式
    • （6）可化“箭形”n阶行列式
    • （7）分块三角形（对角）行列式
    • （8）“X”型2n阶行列式
• 行列式展开定理
  • 余子式
    • n阶行列式det（aij）中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，余下的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij。
  • 代数余子式
    • n阶行列式det（aij）中，将元素aij的余子式Mij赋予符号（-1）的i+j次幂，称为元素aij的代数余子式，记作Aij。
  • 展开定理
    • det（aij）=ai1Ai1+ai2Ai2+……+ain+Ain,行列式某行（列）元素，与其对应代数余子式乘积，之后作和，等于行列式值。（性质9）
  • 定理变形
    • 定理变形 (行列式性质10) A11 a12 ain a11 a12 b2 ain 第i行代数 第i行 bn ai1 aiz ain 余子式相同 anz ann lan1 an2 ann an1 第i行代数余子式Ai1，Aiz…Ain 第i行代数余子式Ai1，Aiz…，Ain a11 A12 ain 沿第i行展开得 n 第i行→ b1 b2 bn =b1Ai1+…+bnAin= bkAik k=1 lan1 an2 ann 第i行元素对应代数余子式的 线性组合
  • 推论
    • 定理推论 (行列式性质11) a11 a12 a1n aukAjk=∑-1第2行代数 akiAkj=0 a11 a11 a12 a12 i≠ j ain din azn A21 : a22 余子式相同 an1 an2 ann an1 an2 ann 第2行代数余子式A21，A22，…A2n 沿第2行展开得: a1kA2k a11A21+a12A22+…+a1nA2n=0 k=1
• 行列式计算（变二阶）（五个类型+范德蒙德行列式）
  • 1.三阶数字行列式
  • 2.四阶纯数字行列式
  • 3.四阶带字母行列式
  • 4.“一杠一星”型行列式
  • 5.“两杠一星“型行列式