张宇18讲-第16讲.无穷级数

与张宇书上内容基本一致，笔记也有所补充。

无穷级数

• 常数项级数
  • 定义与性质
    • • 等比级数
  • 级数敛散性的判别方法
    • 正项级数
      • 收敛原则
        • • 即当
      • 比较判别法
        • “大收小收，小散大散”
          • 主要使用不等式放缩
      • 比较判别法的极限形式
      • 尺度
      • 比值判别法(达朗贝尔判别法)
      • 根值判别法(柯西判别法)
    • 交错级数
      • 莱布尼茨判别法
        • • 即证单调性即可
    • • 绝对收敛
      • 条件收敛
      • 结论
  • 常用结论
    • • • 注：若一个收敛，一个发散，则和一定发散。
    • • 注：一个级数加括号后收敛，原级数不一定收敛; 一个级数加括号后发散，则原级数一定发散。
• 幂级数
  • 幂级数及其收敛域
    • 具体性问题
      • 收敛域的求法：
    • 抽象型问题
      • 阿贝尔定理：
  • 运算法则
    • ①下标相同次数相同可以相加
    • ②
    • ③通项，下标一起变
    • ④只变下标，不变通项
    • ⑤只变通项，不变下标
  • 函数展开成幂级数问题
  • 幂级数求和函数
    • 泰勒展开式
    • • 在解题过程中要标注出收敛域
      • 常用公式
    • 用微分方程并求和函数
  • 综合题常考
• 傅里叶级数
  • 正弦级数
  • 余弦级数