初中数学

初中数学几何知识点罗列，分享给各位同学。

初中数学几何问题

• 1. 立体
  • 三视图
  • 展开图
• 2. 线
  • 一条线
    • 直线、射线、线段
  • 二条线
    • 交叉成角
      • 角的度量
      • 角的大小比较
      • 余角和补角：等角的余角相等，等角的补角相等
    • 平行
      • 性质定理
        • 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
      • 判定
        • 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
      • 平行线分线段成比例（下面三角形相似涉及）
        • 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
        • 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
      • 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行、平行于同一条直线的两条直线平行
  • 垂直平分线
    • 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
    • 定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
  • 角平分线
    • 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
    • 定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
• 3. 三角形
  • 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形
  • 三边关系
    • 两边和大于第三边、两边差小于第三边
      • 做题技巧：最长边小于另外两边和
    • 等边对等角、大边对大角
    • 三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半
    • 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
  • 内角和、外角和
    • 内角和180、外角和360
      • 直角剩余两个内角互余
      • 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
        • 三角形的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角
      • N多边形内角和（n-2）*180
    • N多边形内角和（n-2）*180
    • N边型外角和360
      • 证明：外角内角总和减去内角n*180-（n-2)*180=360
    • N边型问题
      • 过一个顶点有（n-3）条对角线
      • 过一个顶点分成（n-2)个三角形
      • 过所有顶点总共有n（n-3）/2条对角线
  • 等腰三角形
    • 定义：两个内角相等、两条边相等的三角形
    • 三线合一：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
    • 判定
      • 一个角的平分线与该角对边中线重合
        • 延长中线一倍，连接，证明对顶三角形全等
      • 一个角的平分线与该角对边上的高重合
      • 一条边上的中线与该条边上的高重合
      • 有两条角平分线（或中线、或高）相等
        • 角平分线是利用反证法、中线是利用重心2/3证明、高是利用面积相等
    • 特殊：等边/正三角形
      • 性质：三边相等、三角相等为60
      • 面积：边的平方*四分之根下3
  • 直角三角形
    • 勾股定理
      • 两条直角边的平方等于斜边的平方
      • 逆定理成立：判断是否直角三角形
    • 三角函数：熟记30、45、60的正弦sin，余弦cos，正切tan
  • 全等
    • 判定
      • 三边对应相等SSS
      • 两边及其夹角SAS
      • 两角及其夹边ASA
      • 两角及其中一角对边AAS
      • 直角三角形中斜边和一条直角边HL
    • 应用
      • 尺规作图并说明
        • 做一条线段等于已知线段
        • 作已知线段的中点
        • 作已知角的角平分线
        • 作一个角等于已知角
        • 经过直线上/外一点作已知线段的垂线
        • 已知三边作三角形
        • 已知两角及其夹边作三角形
        • 已知两边及其夹角作三角形
      • 全等测距离
  • 相似
    • 平行线分线段成比例（下面三角形相似涉及）
      • 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
      • 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
    • 三角形相似条件跟判定定理
      • 两角分别相等
      • 两边成比例且夹角相等
      • 三边成比例
    • 应用
      • 利用相似三角形测高
      • 利用位似放缩图形
        • 定义：如果两个相似多边形每组对应顶点A，A1的连线都经过同一个点O,且有OA1=k*OA（k不等于0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形 ，点O叫位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比
        • 在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0,1），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为K的绝对值
      • 黄金分割
        • 定义：一般的，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB 的比叫做黄金比
    • 相似三角形的性质
      • 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都成相似比
      • 相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方
  • 重心
    • 定义：三角形三中线的交点
    • 性质
      • 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
      • 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
      • 重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
      • 三角形内到三边距离之积最大的点。
  • 外心
    • 定义：外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点
    • 性质
      • 三角形的外心到三顶点的距离相等
      • 设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A(还有两式)
      • 设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S△，则R=abc/4S△
      • 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和
  • 内心
    • 定义：三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点
    • 性质
      • 设I为△ABC的内一点,则I为其内心的必要不充分条件是：到△ABC三边的距离相等。
      • 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+1/2∠A，类似地还有两式；反之亦然
    • 子主题
  • 垂心
    • 定义：三角形三边上的高的交点
    • 性质
      • 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上
• 4. 四边形
  • 平行四边形
    • 定义：两组对边分别平行的四边形（中心对称图形）
    • 定理：对边相等、对角相等、对角线互相平分
    • 判定：
      • 两组对边分别相等的四边形
      • 一组对边平行且相等的四边形
      • 对角线相互平分的四边形
      • 两组对角分别相等的四边形
    • 菱形
      • 定义：一组邻边相等的平行四边形
      • 定理：四条边相等、对角线相互垂直且平分对角
      • 判定
        • 一组邻边相等的平行四边形
        • 对角线相互垂直的平行四边形
        • 四边相等的四边形
      • 面积：S=A*B/2(A、B为对角线的长）
    • 矩形
      • 定义：有一个角是直角的平行四边形
      • 定理：四个角都是直角、对角线相等
      • 判定 ：
        • 有一个角是直角的平行四边形
        • 对角线相等的平行四边形
        • 有三个角是直角的四边形
    • 正方形
      • 定义：有一组邻边相等的矩形
      • 定理：四个角都是直角、四条边都相等、对角线相等且互相垂直平分
      • 判定
        • 对角线相等的菱形
        • 对角线垂直的矩形
        • 有一个角是直角的菱形
• 5. 圆
  • 定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形（轴对称、中心对称）
  • 点与圆的位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内
  • 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离
    • 圆的切线垂直于过切点的半径
    • 过半径外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线
    • 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
  • 圆与圆的位置关系
  • 定理
    • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
    • 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
    • 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
  • 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
    • 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
  • 圆周角和圆心角的关系
    • 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
    • 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半
    • 同弧或等弧所对的圆周角相等
    • 直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径
  • 圆锥的侧面积S=πrL（r为底边圆的半径，L为圆锥的侧线长）
  • 子主题