导图社区 向量代数和空间解析几何
下图整理了向量代数和空间解析几何的理解分析与思路导图。
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第七章 向量代数和空间解析几何
向量
概念
定义
有大小，有方向
模
单位向量
共线向量
共面向量
方向角
方向余弦
性质
运算
加法
数乘向量
注意：0乘以向量，结果为0向量，并非数字0
向量的数量积
公式
向量运算
坐标运算
意义：结果为数字
应用
求模长
求两个向量夹角（扩展到求两条直线、直线与平面、两个平面的夹角）
判定垂直
扩展到求证两条直线、两个平面的垂直，以及直线与平面的平行
求点到平面的距离
建立平面点法式方程
向量的向量积
意义：结果为与a1，a2都垂直的向量
求平行四边形面积（a，b为邻边）
点到直线的距离
判断平行
混合积
表示
意义：结果为一个数字
三个向量共面判定
公垂线的计算
建立平面方程
运算法则
加法与数乘
数量积
向量积
区别在于：数量积互换结果不变，向量积为互换后需加负号
平面与直线
平面
平面方程
点法式方程
形式
意义：（A,B,C）为法向量
一般式方程
形式Ax+By+Cz+D=0
向量式
参数式
确定平面的思路
方法一
已知平面上的点，以及该平面的法向量，利用点法式方程得出
方法二
已知平面上一点，以及平面上两个不共线的向量，可以确定平面方程
引申方法二
已知平面一点，以及平面上两个不共线的向量，那么设x，则x到该点的向量与另两个向量共面，所以混合积为0，建立方程
直线
直线方程
一般式（交面式）
对称式【(l,m,n)为方向向量】
确定直线方程的思路
直线上一点以及该直线的方向向量
两个不平行的平面相交于一条直线
空间曲线的投影
求解思路
先建立参数方程，后代入平面方程，可解出参数值，得出投影
常见的旋转面、柱面、二次曲面的方程与表示
直线、平面之间的关系以及距离公式
两个平面的关系
平行的判定
垂直的判定
夹角的计算（不大于90度）
两条直线的关系
直线与平面的关系
夹角的计算（90度减计算角）
平面束方程
点与点、直线、平面的距离公式
注意Θ角指不超过π的那个角
