数学必修一集合知识总结

集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。

集合

• 定义
  • 把具有相同属性的不同对象放在一起组成的整体叫做集合(set)其中，构成集合的各个对象叫做该集合的元素(element)
    • 集合简称集 用大写字母表示 元素用小写字母表示
• 表示
  • 列举法
    • 将集合的元素逐一列举出来的方式
      • 包括尽管集合的元素无法一一列举， 但可以将它们的变化规律表示出来的情况： 用省略号以及其后的代表规律的（加了法则）的符号表示
    • 形式
      • {元素1，元素2…}
  • 描述法
    • 将集合的所有元素的相同属性描述出来的方式
    • 形式
      • {代表元素|满足的性质}
      • 常用
        • 数集
          • {x|x有属性P}
        • 点集
          • {（x，y）|x有属性p₁，y有属性p₂}
  • 图像法
    • 又称韦恩venn图法、韦氏图法
    • 是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法
    • 形式
      • 一般用平面上的矩形或圆形（或椭圆形）表示一个集合
  • 符号法
    • 有些集合可以用一些特殊符号表示
    • 常用
      • N
        • 非负整数集合或自然数集合
      • N*或N+
        • 正整数集合
      • Z
        • 整数集合
      • Q
        • 有理数集合
      • R
        • 实数集合(包括有理数和无理数）
      • C
        • 复数集合
      • ∅
        • 空集（不含有任何元素的集合）
• 性质
  • 确定性
  • 互异性
  • 无序性
• 关系
  • 元素and集合
    • 元素a与一个给定的集合A只有两种可能： a属于集合A，表述为a是集合A的元素，记作a∈A a不属于集合A，表述为a不是集合A的元素，记作a∉A
  • 集合and集合
    • 包含
      • 子集
        • 定义
          • 对于两个集合A与B，若集合A中任意一个元素都在集合B中， 则称集合A包含于集合B（或集合B包含集合A） 记作A⊆B(或B⊇A) 称集合A是集合B的子集
          • 对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，则A⊆B(或B⊇A) 。
        • 推论
          • 任一集合A是自身的子集
            • A⊆A
          • 空集是任一集合的子集
      • 真子集
        • 定义
          • 对于两个集合A与B，若集合A中任意一个元素都在集合B中，且集合B中存在元素不在集合A中， 则称集合A真包含于集合B（或集合B真包含集合A） 记作A⊊B（或B⫋A） 称集合A是集合B的真子集
          • 对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，则A⊊B（B⫋A）
            • ∃ 存在
        • 推论
          • 空集是任何非空集合的真子集
            • 由此推论得到的新概念 非空真子集： 如果集合A⊊B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集
    • 相等
      • 定义
        • 对于两个集合A与B，如果集合A和B中的元素完全相同
        • A包含于B，而且B包含于A若A⊆B且A⊇B，
        • A=B
  • 交并
    • 交集
      • 直接概念
        • 两个集合的相交部分
      • 定义
        • 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合， 叫做集合A与B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．（且：and）
      • 性质
        • A∩⌀=⌀
          • 任何集合与空集的交集都是空集
        • A∩A=A
          • 任何集合与自己本身的交集都是自己
        • A∩B=B∩A
          • 产生交集的各集合的顺序不影响交集本身
        • A∩B=A⇔A⊆B
          • 如果集合A与集合B的交集是集合A，则集合A包含于B
    • 并集
      • 直接概念
        • 两个集合的合并部分
      • 定义
        • 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合， 叫做集合A与B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．（或：or）
      • 性质
        • A∪⌀=A
          • 任何集合与空集的并集都是它自己本身
        • A∪A=A
          • 任何集合与自己的并集都是自己本身
        • A∪B=B∪A
          • 产生并集的各集合的顺序不影响交集本身
        • A∪B=A⇔B⊆A
          • 如果集合A与集合B的并集是集合A，则集合B包含于集合A
  • 全补
    • 全集
      • 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U
    • 补集
      • 直接概念
        • 子主题
      • 定义
        • 若全集为U,则集合A的 补集为∁UA
        • ∁UA={x|x∈U,且x∉A}
      • 性质
        • A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀
        • ∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩
        • (∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA) ∪(∁UB)
• 另一实数表达形式
  • 区间
    • 圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。
    • 类型：有限/无限
    • 无穷大
      • 正
        • +∞
      • 负
        • -∞
    • 称呼
      • 何方开闭何方区间