高中数学必修二：球的表面积和体积

人教A版高中数学必修二第一章第2节 《空间几何体的表面积和体积》知识点总结梳理，高中很多同学对球的表面积和体积带有恐惧心理，主要原因是没有在一个很全面的高度去看待球的问题，本思维导图把高考会考的几类模型整理制作成思维导图供大家学习交流。

外接球的表面积和体积

• 有关定义
  • 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.
  • 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.
  • 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
• 与球有关的性质
  • 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等
  • 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆
  • 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）
  • 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心
  • 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）
• 与球有关结论
  • 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心
  • 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同
  • 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆
  • 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处
  • 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径
  • 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球
  • 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上
  • 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径
  • 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球
• 类型四、切瓜模型
  • 图形：
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      • 解题步骤：
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      • 解题步骤： 
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      • 解题步骤：
  • 解题通法：
    • 大圆面法：经过任意一个小圆面的直径的垂直圆面即为大圆面，该圆面的半径为求的半径
    • 求法：两个大小圆面互相垂直且交于小圆的直径——利用正弦定理求大圆的直径
• 类型五、圆锥模型
  • 模型来源：
  • 图形：
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  • 球心位置
    • 球心在正三棱锥的高所在的直线上，可在正三棱锥内部，也可以在外部。（顶点与底面外心的连线即为高）
  • 解题思路：
    • 解法1：构造直角三角形法：
    • 解法2：构造大圆面法：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.
• 类型六、折叠模型 （等腰共底三角形）
  • 模型来源：
    • 两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
  • 图形：
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  • 解题思路:
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• 类型七、直角三角形共斜边 （公共斜边中点为球心）
  • 模型来源
    • 斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥
  • 图形
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  • 解题方法
• 类型三、汉堡模型 (补形为直棱柱、圆柱）
  • 图形
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  • 球心位置
    • 球心在上下两底面的外心连线的中点处
  • 解题方法
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  • 三角形外心位置
    • 底面为锐角三角形：外接圆圆心在内部，利用正弦定理求解：
    • 底面为直角三角形：外接圆圆心在斜边中点处,
    • 底面为钝角三角形：外接圆圆心在外部,求法同锐角
  • 一条侧棱垂直底面的三棱锥 （垂面模型）
    • 题型来源
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    • 图形
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    • 解法
      • 补形直棱柱：一条侧棱垂直底面三棱锥
• 类型二、对棱相等模型 （补形为长方体）
  • 模型来源
    • 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径
  • 图形
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  • 正四面体对棱相等
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• 类型一、墙角模型 (补形为长（正）方体）
  • 三条棱两两互相垂直
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  • 三个面为直角三角形
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  • 解题方法
    • 方找三条两两垂直的线段，补形为长（正）方体直接用公式
• 心定位、径定大
  • 球心位置
    • 过任意两个不平行截面圆圆心的垂线的交点处
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  • 半径
    • 球上任意一点到球心的距离
• 正三角形：高：外：面=
• 锥体的内切球
  • 等体积法：
  • 相似三角形法：
    • 正四面体
      • 高：外：内=
    • 正三棱锥
      • 解题方法：
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      • 图形：
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    • 正四棱锥
      • 解题方法：
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      • 图形：
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