概率论的基本概念

《概率论与数理统计》第一章：概率论的基本概念思维导图笔记，内容包括：随机试验、样本空间、事件间的关系、概率的定义、条件概率、独立性。

概率论的基本概念

• 随机试验（E）
  • 确定性现象
  • 随机现象
    • 随机试验
      • 1重复地进行
      • 2试验结果不止一个，但知道所有可能的结果，试验前不知道结果
• 样本空间（S）
  • 定义：随机试验所有可能的结果，记作：S
    • 随机事件（简称事件）：随机试验的样本空间的子集为随机试验的随机事件，通常用A,B,表示
      • 不可能事件：每次试验中一定不会发生的事件
      • 必然事件：每次试验中一定会发生的事件
  • 样本点：组成样本空间的元素，即样本空间的每个结果
• 事件间的关系
  • 包含：A ⊂B（A是B的子集） 若A事件发生，则B事 件一定发生。 特别地，A ⊂B 且B ⊂A，即A=B，称A、B事件相等。
  • 交集：A∩B or AB(A与B的积事件) 若A事件发生，则B事件也发生。AB同时发生
  • 并集：A∪B or A+B（A与B的和事件） A事件或B事件发生，A、B至少一件事发生
  • 对立事件：若A+B=S，且A∩B=∅， 则称A与B为逆事件或者对立事件，记作：
  • 互斥事件：若AB=∅，则A、B互斥 独立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件
  • 差事件：A-B A 事件发生但B事件不发生
• 概率的定义
  • 描述定义：设在相同条件下，趋于n次试验，事件A 发生的频率稳定在某个实数p左右摆动，一般地，摆动幅度越小，则p为事件A发生的概率。记作：P（A）=p
    • 频率:比值：Na/n称为事件A 发生的频率，∈（0,1）
      • 性质：
        • 取值范围∈（0,1）
        • 必然事件的频率=1
        • 和事件的频率=概率的加和
  • 公理化定义
    • 定义：设E施随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记作P（A）,称为事件A的概率，但P（A）满足三个条件： ①非负性：对于每个必然事件A，P（A）≥0； ②：规范性：对于必然事件S，P（S）=1; ③可列可加性：
    • 性质;
      • ①P（∅）=0 不可能事件发生的概率为零，概率为 零的事件未必是不可能事件
      • ②0≤P（A）≤1 概率的取值范围（0，1）
      • ③有限可加性。 假设A1，A2，A3，A4，……An,两两互斥，即AiAj=∅，其中i≠j，i,j=（1，n）则，P（A1+……+An）=P(A1)+……＋P（An）
      • ④p（A）+P（A补）=p(A+A补)=P（S）=1 P（A）=1-P（A补）或者P（A补）=1-P（A）
      • ⑤若A∈B ，P（B-A）=P（B）-P（A） 若AB， 若A∩B=∅，
      • ⑥加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）－P(AB) 推广到一般式：P(A1+A2……An)
  • 古典定义
    • 特点：①样本空间中有有限个元素； ②发生可能性相同
    • 定义：在古典概型下，A∈S P（A）=随机事件A包含样本点数/S所包含的样本点数
    • 求概率的几种类型：分房问题；整除问题；超几何分布；彩票问题；分配问题；小概率事件原则
• 条件概率
  • 定义
    • 定义：设A、B为二事件，且P（A）＞0， 称P（B|A）=P（AB）/P(A)，在事件A发生的条件下，B事件概率。
    • 性质：满足公理化定义的三条
  • 计算
    • 1缩减样本空间，直接计算
    • 2公式法：P（B|A）=P（AB）/P(A）
    • 乘法公式：由P（B|A）=P（AB）/P(A） 变形→P（B|A）P(A）=P（AB） 推广到一般式
  • 变形
    • 全概率（已知原因求结果）
    • 贝叶斯或逆概公式（已知结果求原因）
• 独立性
  • 定义：若P（AB）=P(A)P(B)， 则称事件A、B互相独立，则称A、B独立（判断独立性的唯一方法）
  • 性质
    • 1. 若A、B相互独立，则P(B|A)=P(B)。
    • 2. 概率为零的事件与任一事件独立。
    • 3. 若A、B独立，则A与B补，A补与B,A补与B补也相互独立。
    • 4. 两两独立。若ABC三件事满足： P（AB）=P(A)P(B)， P（AC）=P(A)P(C)， P（BC）=P(B)P(C)，则称A、B、C两两相互独立
    • 5. 相互独立。（条件更强） 若A、B、C三件事满足： ⅰA、B、C两两独立 ⅱP（ABC）=P(A)P(B)P(C)，则称A、B、C相互独立
    • 6. 推广到多个两两独立。
    • 7. 推广到有限多个相互独立。
    • 8. 独立事件和事件概率。