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公考数量关系思维导图
公考数量关系思维导图，知识点包括：代入排除和数字特性、比例倍数特性、方程法、工程问题等。
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数量关系
代入排除和数字特性
代入排除法
固定题型
年龄问题
余数问题
多位数
不定方程
不会做
数字特性
奇偶特性
加减
偶数加减偶数等于偶数
奇数加减奇数等于偶数
奇数加减偶数等于奇数
乘
奇数乘以奇数等于奇数
奇数乘偶数等于偶数
偶数乘偶数等于偶数
适用题型
知差求和
知和求差
二倍类
平均分
不定方程
整除特性
被2（5)整除
末一位能被2和5整除
被4和25整除
末两位能被4和25整除
被8和125整除
末三位能被8和125整除
被3和9整除
其各位数字之和能被三或九整除
比例倍数特性
普通倍数
因子倍数
X=a×b×c
X，等于15×12×11。
等于3×5×3×4×11
X是15和12的倍数
X是3、5、4、 11的倍数
X是ABC的倍数
比例倍数
例如
男女比例为7:4，于是。
男的人数是七的倍数
女的人数是四的倍数
总人数是11的倍数
两者之差是三的倍数
若A:B=m:n，或a/b=m/n，或a=m/n✖️b
所以a是m的倍数
b是n的倍数
a+b是m+n的倍数
a-b是m-n的倍数
a/（a+b）=m/（m+n）
适用题型
倍数
谁是谁的几倍？
百分数
男生人数是总人数的17%
分数
男生是女生的9/4倍
女生占总人数的5/9
比例
男比女等于7比4
分组
七男五女分一组
所以男生比女生是7比5
方程法
普通方程
适用题型
和差倍比
鸡兔同笼
盈亏问题
经济利润
凌晨问题
经济问题
三条原则
优先设所求量
设小不设大
例如
甲是乙的3倍
丙比乙的4倍多三
问总数是多少？
设乙为未知数
设中间变量
是中间出现的量
不定方程组
解是不确定的。
限制性不定方程
3x+4y=20
如果xy代表人盒子，桌子等整数。
运用奇偶特性
3x+4y=20
20为偶数4y也为偶数
所以3x等于偶数。
所以x为偶数
应用因子倍数特性
11a+7b=121
11和121都是11的倍数
7b=11×(11-a)
所以7b也是11的倍数
所以b等于11
尾数法
3x+10y=41
10y的尾数是零
41的尾数是一
所以，3x的尾数也是一。
所以，x=7y=2。
尾数确定的
5.10
不定方程组
消元减法
X+y+z=10
X+y+7z=20
工程问题⭐
公式
工程总量=工作效率✖️工作时间
W=et
给定时间型
例如
一项工程甲单独30天完成，乙单独45天完成，两人合作几天完成？
做题思路
列表
W=et
甲的时间是30
乙的时间是45
赋值
赋工程总量为时间的公倍数
工程所以总量为90
求各自的效率
甲的效率为三
乙的效率为二
分析求解
时间等于90÷5=18
效率制约型
例如
一项工程甲和乙的工作效率比为2:3，合作八天完成，甲单独几天完成？
①甲比乙等于2比3
②现在的效率提高20%
1比1.2等于5比6
③42台收割机
收割机是一模一样的
默认工作效率是一样的
④某一部分工程量，甲做需要五天，乙完成需要三天。
隐含甲乙的效率之比是3:5
做题思路
列表
标出工程总量，工作效率，工作时间。
赋值
赋效率的比值
设甲的工作效率为二，乙的工作效率为三。
求出工程总量
解出问题
行程问题
基础公式类
路程等于速度乘以时间
S=vt
速度和时间成反比
Vt
速度和路程成正比
Sv，成正比。
时间和路程成正比
ST，成正比。
等距离平均速度
平均速度=2v1v2/(v1+v2)
平均速度=2S/(s1/v1+s2/v2)
①上下坡
上坡的速度v1,下坡的速度是v2
②往返（从家到回校）
去的速度是v1回来的速度是v2
相对速度型
流水行船
V顺=v船+v水
V逆=V船-v水。
S路程=V逆（v船-v水）✖️t
相遇追及
相遇
例如
北京到上海
北京的复兴号高铁速度350千米每小时
上海的和谐号为300千米每小时
两者相对开多久相遇？
时间等于两地距离除以两地速度和
S相=(v1+v2)×t。
追及
和谐号从保定往上海开
复兴号从北京往上海开
北京到保定相距98千米
在到达上海之前，复兴号能否追上保定的和谐号。
时间等于两地距离除以两地的速度差
时间等于追及的路程除以大速度减小速度
S追=(v大-v小)乘以t
环形跑道
相遇
操场为400米
AB从相反的方向走，第一次相遇时,一共走了s400米
第n次相遇时一共走了ns
一共走2200米相遇五次
追及
操场为400米
AB从同向出发。
第一次追上时多跑了s=400米
第二次相遇是多跑了两倍，而2s=800。
第n次相遇时多跑了ns
多跑1900米，追上了四次。
两端相遇
A从北京到上海,再回北京
B从上海到北京，再回上海
两者第一次相遇时一共走了一个S
两者第二次相遇时一共走了3S
两者第n次相遇水一共走了(2n-1)s
假设一共走了2200千米一共相遇了11次
排列组合问题
分类
加法
从北京到天安门
坐地铁，坐公交车1路、52路、76路，坐出租车，坐专车
就有七种乘车方案
分布
做一件事情先做什么再做什么？最后做什么？
北京到天安门有地铁出租车，专车，公交车1、52、72路六种方案。
天安门到奥体有地铁公交2路、8路两种方案
北京到奥体有6✖️3=18种方案
用乘法
A排列array
有顺序
六个人排个队
宿舍六个人，去窗口排队打饭。有谁先打后打的顺序
排第一个有六种情况
排第二的有五种情况
排三个的有四种情况
排第四个都有三种情况
排第五个的有两种情况。
排第六个人有一种情况。
所以，有6×5×4×3×2×1=720种可能性。
宿舍六个人只有三个人去窗口排队打饭
排第一个的六种情况
排第二个的五种情况
排第三个的有四种情况
所以，有6×5×4=120种可能性。
C组合combination
没有顺序
56人中选出五个人去搬书，把这五个人组合成一个组合。这五个人没有顺序
组合是把人组合到一起，没有顺序。
宿舍六个人，选出三个人去食堂打饭，每个人拿两份回来
三个人后到窗口排队
＝六个人去窗口排队打饭
=六个人去窗口排队打饭减去三个人排队的概率。
所以总共有（6×5×4）÷（3×2×1）=20种概率
捆绑法——相邻问题
舍友六个人去窗口排队打饭，社长带了个女朋友，有七个人。
舍友和女朋友必须挨在一起
所以舍友女朋友看做一个人
舍友和女朋友的前后顺序也有2✖️1种可能
所以总的可能是6×5×4×3×2×2=1440种可能
插空法——不相邻问题
宿舍六个人，去窗口排队打饭，社长和老二吵架了。
两人不排在一起
先排其他四个人有4✖️3✖️2✖️1=24种可能
四个人中间有五个空
将舍长和老二排进这五个空里
两人的可能（是5×4）÷2=10
乘上两人按顺序排队的可能2✖️1=2种
所以两人的总的可能是5×4✖️2=20
所以，宿舍六个人排队打饭总额可能是4×3×2×1×5×4=480
注意有无顺序
插板法
爸爸去菜市场买十个一样的桔子分给我、弟弟和妹妹，至少每人一个，请问有多少种情况？
十个橘子中间有九个空，往九个空中间插两块板子。
所以，概率是从中间选两个。C92=（9✖️8）/2=36种可能
N个相同的物品，M个人分，至少每人分一个。
有n-1个空
插m-1个板子
所以概率就是n-1中选M-1个，C（n-1）（m-1）种可能
错位排列
厨师①做a菜，厨师②做b菜，两者互相尝菜，请问有多少种可能？
有①b②a一种可能
D2=1
两个人错位排列等于一
三个人错位排列等于二
四个人错位排列等于九
五个人错位排列等于44
概率问题
概率=满足条件的情况数➗总的情况数
比如
色子摇出三的概率
总的情况是六，摇出3的情况是一，总的概率就是1/6。
摇出豹子的概率是
总的情况是，6×6×6。
摇出豹子的概率是六
总的概率就是1/36
分步乘法型
分步概率=满足条件的各种情况概率之积
逆向计算型
某事件的概率=1—该事件不发生的概率
某件事情不发生的概率是2%，某件事情发生的概率就等于一减20%等于98%。
经济利润问题
利润率=利润/成本
总利润=利润✖️数量
利润=售价-成本
毛利润=利润➗营收
基本经济利润
一件衣服的成本是100元，定价150元，售价为150元，利润是50元，数量为400件，利润就是50×400=20000。
列表法
列出:成本 定价 售价 利润✖️数量=总利润
方程法
赋值法
分段计算
画图法
画数轴
最值问题和容斥原理
最值问题
最多怎么样？最少怎么样？
最不利构造
最倒霉的意思
至少要拿多少分及格？60分及格，最倒霉是59→最不利值+1，所以至少要拿60分及格
口袋里有三个红球，四个黑球，五个白球。
问:至少摸出多少个球才能保证一定能够出一个白球？
最倒霉的情况是摸出三个红球，四个黑球。
最不利值是七
再加上一
所以至少要摸出八个球，才能保证摸出一个白球。
问:至少摸出多少个球才能保证一定摸出两个颜色相同的球？
最倒霉的情况是每个球摸出一个，
最不利值是三
再加上一
所以至少要摸出四个球，才能保证一定摸出两个颜色相同的球。
数列构造
排列——定位——构造——求和
最多的人最少怎么样？
例如
总共有100只比六个人分每个人分的都不同
问:分的最少的人，最少能分得多少只？
一只
问:分的最少的人，最多能分得多少只？
假设分的最少的人分x只笔
定位
因为老六要分的最多，所以其他五个人要尽可能的少
构造
所以第五分x+1支笔
排名第四的分x+2之笔
排名第三的三x+3
构造
排名第二的人分x+4
排名第一的人分x+5之笔
构造
所有人之和等于100
6x+20=100
求和
得出x=14.15
最多往下取，反向取最小
所以X取14。
多集合反向构造
问题中出现至少……都……的情况下
都喜欢的反面是不都喜欢的最多
所以 都喜欢=所有—不都喜欢的最多。
采用逆向思考，反向 求和 做差
社团有46个人，其实35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？
反向
不喜欢戏剧的有11人
不喜欢体育的有16人
不喜欢写作的有八人
不喜欢收藏的有六人
求和
不喜欢的总和有11+16+8+6=41
做差
社团总人数46—所有都不喜欢的和41=5
容斥原理
几个集合之间？既有重复的部分，也有独立的部分。
两集合容斥
公式法
A+b-A交B=总数—都不
画图法
三集合容斥
覆盖的面积=a+b+c-a交b-b交c-a交c+a交b交c=总数-都不
三集合非标
覆盖的面积=a+b+c-满足两个条件的-2✖️满足三个条件的=总数-都不
使用标志: 题目中出现满足两个条件，或者只告诉你满足两个条件。
多集合的反向构造
几何问题
周长
正方形的周长等于4a
长方形的周长=2（a+b）
圆的周长=2πr
扇形的周长=弧长+2r=(n/360)✖️2πr+2r
面积
正方形的面积等于a的平方
长方形的面积等于长乘宽
圆的面积=πr²
三角形的面积等于(1 /2)ah
梯形的面积等于上底加下底除以二乘以高
扇形的面积=n/360°乘以πr²
表面积
正方形的表面积等于6a²
长方体的表面积=2ab+2 ac+2bc
球的表面积=4πr²
体积
正方体的体积等于a的立方
长方体体积等于ABC
球的体积=4/3（πr³）
圆柱体积=底面积S✖️高h=πr²h
圆锥体积=1/3（底面积S✖️H高）
棱柱体积等于sh
棱锥体积等于1/3sh
勾股定理
345
6 8 10
9 12 15
5 12 13
7 24 25。
8 15 17
角度和三角形
直角三角形，30度角。
底边是斜边的一半
直角三角形，45度。
等腰直角三角形
两斜边相等
底边为一，另外两条边为二分之根号二。
三个角都是60度
三条边相等
S=（四分之根号三）a²
正六边形
正八边形
相似三角形
同位角相等
三角形ADE相似于三角形ABC
边长之比的平方等于面积之比
两直线平行内错角相等
对顶角相等
年龄问题和溶液问题
年龄问题
优先使用代入排除法
方程法
核心点:每人每年长一岁，两个人的年龄差不变。
溶液问题
浓度=盐➗盐水总量=糖➗糖水总量=酒➗酒水总量
20度时，36克的氯化钠溶解于100克的水中，浓度是多少？
浓度=36÷136
牛吃草和循环周期
牛吃草问题
有一定的存量，既在均匀的增加，又在消耗。
牛吃草
一片草地（草以均匀的速度生长），240头牛可以吃六天，200头牛可以吃十天，则这片草原可供190头牛吃的天数是？
假设每头牛每天吃一份草
假设这片草地有y份草，每天长x份草。
每头牛每天吃的草减去每天生长的草，这是每天减少的量，再乘以吃完的时间，就等于牛把草全部吃完。
所以:（240-x）✖️6=y （200-x）✖️10=y
挖沙子
80人连续开采六个月60人连续开采十个月
检票
的东西同时开四个检票口，需要50分钟，同时开6个检票口需30分钟。
泄洪
打开十个泄洪闸，八小时可以恢复安全水位，打开六个，需要24小时。
水池
五台抽水机40小时可以抽完，使台抽水机15小时可以抽完。
循环周期问题
若一串事物以T为周期，则A÷T=N余a，那么第A项等于同于第a项
如果可以整除，那么第A项就相当于周期当中的最后一项及第T项。
星期日期问题
平年与闰年
四年一闰百年不闰400年再闰
大月31天
小月30天
二月闰年29天平年28天
星期日期推断
连续七天包含了星期一到星期天各一天
连续14天包含了星期一到星期天各两天
连续28天包含了星期一到星期天各四天
比赛问题
淘汰赛
每场比赛淘汰一队，每轮比赛淘汰一半的队伍。
100个人的淘汰赛
第一次50v50
第二次25v25
第三次12v12轮空一人。
第四次6v6 一人轮空。
第五次3v3，一人轮空
第六次，2v2。
第七次1v1
总共安排了99场比赛
循环赛
单循环
每支队伍都要和其他队伍进行1次比赛，N支队伍的总场次是CN2=N（N-1）/2
积分制
双循环
每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛（分主场和客场），N支队伍的总场次是AN2=N（N-1）
统筹优化问题
统筹优化
枚举法
逻辑推断
选出必须要完成的，或者说不能缺少的部分
将可以省略的部分与不能缺少的部分一起完成
最佳的时间就是不可少部分的完成时间
某餐厅要用三个炉灶做出9道菜肴，做完各道菜肴需要的时间分别是1 2 3 4 4 5 5 6 7分钟，每个炉灶在同一时间只能做一道菜肴，那么最少经过多少分钟，该餐厅可以坐完全部菜呀？13分钟
钟表问题
本质是追及问题
分针速度为360度除以60分钟等于8度每分钟
时间的速度为30度除以60分钟等于0.5度每分钟
零点开始，24点结束，重合了多少次？
跑得慢的时针跑了两圈
跑得快的分针，跑了24圈。
多跑了22圈
所以，两者重合22次
重和前后都会呈现两次垂直
垂直了44次
3点19分时，时针和分针的夹角多少度？
找到上一个准点三点。
时针和分针的夹角为90度
时针在前，分针在后。
19分钟后，分针追时针（6-0.5）×19度。
再减去90度等于14.5度，即分针追上时针后又超出时针14.5°
所以，时针和分针的夹角为14.5度。
植树问题
单边线性植树
两个间隔种三棵树。
N个间隔种N+1棵树
棵树等于总长除以间隔加上一
总数等于棵树减一乘以间隔
马路两边都要植树，要乘二。
单边环形植树
两个间隔，两棵树，四个间隔四棵树。
N个间隔N棵树
棵数等于总长除以间隔
总长等于棵数乘以间隔
函数问题⭐
一次函数
Y=kx+b
k越大，函数越陡。
二次函数
Y=ax^2+bx+c
A为正数抛物线向上
A为负数抛物线向下
当抛物线取极值时，x=-b/2a
A+b=10 AB=25
数列天平空瓶换酒方阵
数列问题
平均数等于每个人的数之和除以个数
等差数列
An的=a1+（n-1）d
求和公式为
和=1/2（首项+末项）✖️项数=平均数✖️项数=中位数（最中间的数)✖️项数
天平称量
选择最少的
空瓶换酒
我们将m个瓶空瓶换一瓶酒转化为m-1个空瓶换一个瓶酒来完成答题
默认借瓶再换瓶
12个啤酒空瓶可以免费换一瓶啤酒，现有101空啤酒瓶最多可以免费喝到的啤酒为？
最多换=101÷（12-1）=9瓶
方阵
若正方形方阵一边人数为n，长方形方阵两边人数分别为mn。
正方形实心方阵的总人数为n²，长方形实心方阵的总数为mn。
正方形方阵最外层人数为4n-4，长方形方阵最外层人数为2（M+N）-4
方阵相邻两层人数相差八人
打牌问题
第一次拿完牌后，恰好凑成最大、最小数之和的倍数。
例如
一副扑克牌共54张，甲乙两人轮流拿，每人每次只能拿123或者四张，谁拿到最后一张谁赢，若甲先拿牌，则甲第一次应该拿多少张牌才能保证获胜？
甲应该拿四的倍数张牌，剩下1+4=5的倍数张牌