导数与微分

这是一篇关于导数与微分的思维导图，主要内容包括：函数的微分，函数与微分的关系，函数的求导法则，导数概念，隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率，高阶函数。

导数与微分

• 导数概念
  • 定义：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数
  • 几何意义
  • 可导性于连续性的关系
    • 可导一定连续，连续不一定可导
• 函数的求导法则
  • 函数的和，差，积，商求导法则
  • 反函数的求导法则
  • 复合函数的求导法则
  • 常数和基本初等函数的导数公式
• 高阶函数
  • 定义
    • 函数y=f(x)具有n阶导数，也常说成函数f(x)为n阶可导，如果函数f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
  • 莱布尼兹公式
• 函数的微分
  • 定义
    • 微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量是△y=f(x+△x)一f(x)=f'(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。因此△y的线性形式的主要部分dy=f'(x)△x是y的微分。
  • 几何意义
  • 基本初等函数的微分公式
    • 微分基本公式 （1）d( C ) = 0 (C为常数) （2）d( xμ ) = μxμ-1dx （3）d( ax ) = ax㏑adx （4）d( ex ) = exdx （5）d( ㏒ax) = 1/(x*㏑a)dx （6）d( ㏑x ) = 1/xdx （7）d( sin(x)) = cos(x)dx （8）d( cos(x)) = -sin(x)dx （9）d( tan(x)) = sec2(x)dx （10）d( cot(x)) = -csc2(x)dx （11）d( sec(x)) = sec(x)*tan(x)dx （12）d( csc(x)) = -csc(x)*cot(x)dx
  • 微分运算法则
    • • （1）d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x)
      • （2）d(f(x) - g(x)) = df(x) - dg(x)
      • （3）d(f(x) * g(x)) = g(x)*df(x) + f(x)*dg(x)
      • （4）d(f(x) / g(x)) = [g(x)*df(x) - f(x)*dg(x)] / g2(x)
• 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
  • 隐函数的导数
    • 将隐函数显化
    • 满足特定xy的方程
  • 由参数方程所确定函数的导数
    • 求二阶导数
  • 相关变化率
• 函数与微分的关系