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量子简答
关于量子简答的思维导图，如量子力学中的算符不都是线性算符，但刻画可观察量的一定是，是量子态叠加原理的反映。
编辑于2023-10-25 21:43:32- 量子力学
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- 大纲
量子简答
波函数和薛定谔方程
概念
波粒二象性
波粒二象性是啥？
不是经典粒子也不是经典的波，电子所呈现的粒子性，波的相干叠加性统一
粒子的双缝干涉是最直观展现波粒二象性的实验
分析
波包错误
疏密波错误
物质波
实物粒子也具有波粒二象性，即与动量P，能量E的粒子相应波的波长和频率满足德布罗意关系，并称之为物质波
德布罗意关系
电子波动性的实验验证
戴维孙革末实验
概率波
波恩提出波函数的统计解释，波函数在空间某一点的强度和在该点找到该粒子的概率成比例，描写粒子的波是概率波
波函数描述的是刻画粒子在空间概率分布的概率波
定态和非定态
与经典粒子运动的对应的量子态必为非定态
形如分离时变量波函数描述的态称为定态，能量具有确定值
由若干个能量不同的本征态叠加所形成的态称为非定态
波函数，态函数
波函数绝对值的平方就可以得出粒子在空间任意一点的概率，波函数描写体系的量子状态
体系处于某一状态时，它的力学量各自以一定概率出现，这些概率都可以由波函数得出
当波函数R给定后，三维空间中所有力学量的测量值概率分布就确定了，完全描述了一个三维空间中粒子的量子态，所以波函数也成为态函数
量子态
微观（粒子）体系所处的状态
态叠加原理
如果φ1 φ2是体系可能的状态，那么他们的线性叠加 （式子 c1 c3是复数）也是体系的一个可能状态
简答
如何理解波粒二象性
既不是经典的粒子也不是经典的波，既是粒子又是波，是粒子和波动二重性矛盾的统一，电子的粒子性是经典粒子概念中的原子性颗粒性，具有一定的内禀属性；电子的波动性是波的相干叠加性，把微观粒子的原子性和波的相干叠加性统一起来。
概率波与经典波的不同
相对概率，和归一化
相位不确定性
为什么宏观
宏观尺度h非常小，对宏观粒子所进行的测量数量级远大于h，所以～
量子力学和经典力学描述粒子有什么不同？
粒子的量子态可以用不同的表象描述，彼此完全等价；与经典粒子描述方式每一时刻的坐标和动量描述完全不同，是波粒二象性决定的。
如何看薛定谔方程
量子力学最基本的方程，地位与牛顿方程在力学中的地位相当，是量子力学的基本假定，正确性只能由实验检验
推导定域的守恒，并简要说明
初态确定之后任意时刻状态就完全确定
边界条件有哪些？
束缚边界条件
周期性边界条件
散射态边界条件
定态粒子的基本特征
粒子在空间中的概率密度和概率流密度不随时间改变
不显含时间的任何力学量平均值不随时间改变
任何不显含时间的力学量测值概率分布也不随时间改变
态叠加原理
波的相干叠加性和波函数完全描述体系的一个量子态两个概念的概括
体系处于态一结果确定，态二结果确定，在叠加态测量结果可能为，也可能为，相对概率是完全确定的称为和相干叠加态，导致叠加态下观测结果的不确定性，与经典波的叠加完全不同，是波粒二象性确定的。与测量和量子坍缩有密切联系
一维势场中的粒子
定理
共轭解也是解
线性解也是解
宇称解也是解
宇称线性解
束缚态必有确定宇称
有限跃势本征函数与其导数连续
同解倒乘差为常数
规则势场无奇点束缚态存在则不简并
例外是波函数节点出现在奇异点处，但两简并态有不同宇称
概念/描述
隧道效应
粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应，是粒子具有波动性的体现
用势垒贯穿说明了放射性元素的α衰变的现象
透射系数
共振透射
入射粒子能量合适使透射系数为1的现象称为共振透射，相应的能量称为共振能级
狄拉克势的跃变条件
狄拉克势的其他特点
势垒换为势阱透反系数值不变
特征长度特征能量
在不连续点粒子流密度连续
解析延拓后，束缚能级所在，恰为透射振幅的极点
谐振子的一点补充
谐振子能级是均匀分布的
基态能量不为零，是波粒二象性的体现也可应不确定关系说明
粒子有一定概率出现在经典禁区是一种量子效应
简答
一维无限深方势阱粒子的特点
能量是量子化的
再加上定态的特点
最低能级不等于零，静止的波没有意义
基态无节点，第几激发态有几个节点（n＝k+1）
波函数在全空间连续，但微商在0，a不连续
束缚态特点
必有确定宇称
对称方势阱至少有一个偶宇称基态
能量是离散的
能量越高的激发态波函数震荡越厉害
做法
lnf'的连续性确定能量可撇开归一化问题
力学量用算符表述
概念/描述
量子力学中的算符表示对波函数/量子态的一种运算
量子力学中的算符不都是线性算符，但刻画可观察量的一定是，是量子态叠加原理的反映
算符之积一般不满足交换律是与常数运算的唯一不同之处
厄米算符本征值必为实数，逆表述也成立，实验上要求任何态平均值都是实数
本征态
如果体系处于测量A所得的结果是唯一确定的即涨落为零，称这种状态为力学量A的本征态
量子力学的基本假定
测量力学量A时所有可能出现的值都是相应的线性厄米算符的本征值
平面波不能归一化，但习惯上取
角动量算符必须为厄米算符，要求波函数满足周期性边界条件
定理/判断
厄米算符的本征值必为实
厄米算符不同本征态的本征函数彼此正交
简并和对称性的关系
简并与体系的对称性有密切关系
出现简并时，简并态的选择不唯一，简并态也不一定彼此正交，但总可线性叠加使之正交
用其他力学量的本征值对简并态进行分类，正交性问题自动解决
共同本征函数
不确定关系
定义
简计式是任意两个力学量在任意量子态下的不确定度（涨落）必须满足的关系式即不确定度关系
描述
若AB不对易AB不能同时为零即AB不能共同测定，不能有共同本征态
若AB对易则可以找出使AB涨落为零同时满足，即可以找出其共同本征态
除了AB对易子的特殊态可能是例外
不确定性原理的主要含义，一个粒子的坐标和动量原则上就不能同时有确定值
不确定度关系不涉及具体测量过程，是给定量子态所固有的
判断
有共同本征态不一定彼此对易
不对易不一定没有共同本征态
不对易，在所有的态下不一定都同时有确定的值
AB对易子为常数可以有共同本征态
角动量XY分量没有共同本征态
与测不准关系的区别联系，67
球谐函数67～69
l2球坐标形式
波函数
本征方程
连带勒让德多项式
l2lz共同本征函数
l轨道量子数m磁量子数，本征值都是量子化的，Ylm用来区分2l+1个简并态
对易力学量完全集
CSCO
一组彼此独立且相互对易的厄米算符集，它们的共同本征态记为ψα，α表示一组完备的量子数，给定一组量子数后就能确定体系唯一一个可能的状态，称厄米算符集构成体系的一组对易可观测量完全集，即（对易）力学量完全集
与量子态的制备密切相关
CSCCO
若对易力学量完全集中包含有体系的哈密顿量，则完全集中各力学量都是守恒量，这种完全集又称为对易守恒量完全集
好量子数
共同本征态为定态，相应的量子数称为好量子数，相应的概率幅不随时间改变
命题判断
一维谐振子哈密顿量构成CSCO
动量构成一维粒子的CSCO
三维自由粒子P的三个分量构成CSCCO，但一维坐标只构成CSCO
三维中心立力场HL2LZ构成CSCCO，而动量，坐标三个分量只构成CSCO
计及自旋轨道耦合的中心力场粒子HL2J2JZ构成CSCCO
三维谐振子HL2LZ，H的三个分量分别构成一组CSCCO
正常ZM效应HL2LZ构成CSCCO，反常在上面基础上加上SZ
补充说明
CSCO限于最小集合，各观测量函数是独立的
可观测量数目一般等于体系自由度，但也可以大于体系自由度数
CSCCO涉及对称性
本征态完备性定理：体系任意归一的平均值有下界无上界～
一般都可；H有简并用包含H的CSCCO
守恒量
体系的哈密顿量不显含时间t～
量子力学基本假定
量子体系的可观测量用一个线性厄米算符描述
含义
归一化平均值表达式
观测值是算符某一个本征值
算符间关系确定相应算符间关系
同时有确定的可观测值
是否是守恒量
连续谱归一化
连续谱本征函数无法归一化
波包近似描述
归一化方法
狄拉克函数
箱归一化
相空间一个体积元h3有一个量子态
力学量随时演化与对称性
守恒量
对于哈密顿量不含时的量子体系，如果力学量a与h对易则无论体系处于什么状态a的平均值与其测值的概率分布均不随时间改变
性质
任何态下的平均值不随时间改变
任意态下的力学量概率分布不随时间改变
补充说明
与经典力学守恒量不同，是波粒二象性的反应
量子体系的守恒量不一定去确定值，即体系的状态不一定就是某个守恒量的本征态
是否处于某守恒量的本征态要根据初试条件确定，是则保持，否则永远不是，但平均值分布不随时改变
守恒量的量子数称为好量子数
体系的各守恒量不一定同时取确定值
和定态的区别
定态
指体系处于并保持初始时刻的能量本征态的量子态～
定态下一切力学量的平均值和测值的概率分布都不随时间改变
守恒量
守恒量定义
在一切状态下平均值和测值的概率分布都不随时间改变
不对易守恒量的能级一般简并
但如果对易子结果为算符可能存在S态例外
守恒量 能级不简并，则对应态必为守恒量本征态
除偶然简并外，多数简并与对称性联系
用波包描述粒子的条件
波包很窄
波包大小与粒子大小相当
势场在空间变化很慢
波包扩散比较慢
薛定谔图像和海森堡图像的区别
薛定谔图像
力学量的平均值及其测值概率分布随时间的演化，完全归于波函数随时间演化，而是刻画力学量算符本身不随时间变化～
海森堡图像
实际观测的是各种力学量的平均值或测值的概率分布，它们随时间变化
时间演化算符可视为把时刻t的状态与初态联系起来的连续变换，为幺正变换，保证概率守恒。
力学量平均值随时间变化，而态矢保持φ0不随时间变化，这种图像称为海森堡图像。
对应有海森堡方程
区别ZP84
对称性
标记体系的好量子数以及表征跃迁前后状态关系的选择定则，体系能级的简并性，总是和体系的（某种）对称性相关。
可借助对称性，不严格求解薛定谔方程获得一些结论
对称性变换只能是幺正变换或反幺正变换，前者存在相应的守恒量，后者不存在相应的守恒量
全同粒子
概念
按照内禀属性，对粒子进行分类，把属于同一类的粒子称为全同粒子
粒子全同性概念和粒子态的量子化有本质联系
任何客观测量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性
全同粒子波函数的构造
全同性是一个可观测量
全同双原子分子的转动，光谱线强度呈现强弱交换的现象，全同粒子散射截面
描述全同粒子体系的量子态，更简便的是用二次量子化，即粒子填布数表象
全同粒子交换性构造方法
中心力场
能级有简并的情况下，能量本征函数选取不是唯一的选择，不同的守恒量完全集，他们之间通过一个幺正变换相联系
中心力场粒子运动的一般性质
粒子运动必为平面运动平面法线方向必为l方向
l各分量为守恒量，各分量不对易，能级一般有简并 选l2,lz为本征态，简并度一般为2l+1，选H，l2,lz后简并态和正交性得以解决
非束缚态能量连续变化，束缚态能量取离散值
径向波函数在r邻域内的渐进行为
两体问题转化为单体问题
无限深球方势阱
球贝塞尔方程的渐进行为
归一化情况与方法
当势阱趋于无穷时，满足边界条件，k不受限制，能量连续变化，但归一化常数趋于零，意味着无法归一化
选择合适的径向波函数，归一化到狄拉克函数
三维各项同性谐振子
合流超几何方程及归一化
简并度
能级一般是简并的，能量本征值只依赖于N＝nr+l,简并度：f＝1/2(N+1)*(N+2)
氢原子
合流超几何方程及参数
波尔能级公式的导出
最低的几条径向波函数
能级简并度
n2
库伦场比一般中心力场的几何对称性SO3更高的动力学对称性SO4的表现。
只有当中心力为平方反比力或虎克力时束缚粒子的所有轨道，才是闭合的（Bertrand定理）
径向概率分布最可几半径
概率密度随角度变化
回转磁比值
类氢离子
电磁场中粒子的运动
电磁场中荷电粒子的运动
带电粒子的哈密顿算符即薛定谔方程推导
改写与讨论
改写
定域守恒概率与流密度
规范不变性
正常塞曼效应
正常Zeeman效应；如果把原子置于强磁场，中原子发出的每条光谱线都分量为三条，此即正常塞曼效应，光谱线的分裂反映了原子简并能级发生分裂能级简并被解除或部分解除
矢势的取法与哈密顿量的改写
对易守恒量完全集的选取
能量本征值的构成
屏蔽库伦场和纯库伦场的不同
对称性
量子数
简并度与分裂
劳顿能级
略去z方向的自由的运动，只讨论电子在平面中的运动
项的讨论
能量本征态的选取与求解
关于简并度的讨论
N+1
不因规范而异
回旋角频率
均匀磁场中的粒子可以出现在无穷远处为非束缚态平面波能级确是离散的
HALL效应：低温下二维电子气在强磁场中出现的HALL电阻率的量子化现象
量子力学的矩阵形式和表象变换
力学量完全集的本征值是离散的，则在其以其本征态为基矢的表象中体系的任何量子态可以用一个列矢表述，任何可观测量可用一个线性厄米矩阵表述。
量子态不同表象和幺正变换
变换矩阵的导出和物理意义
变换矩阵的矩阵元是两坐标系的基矢间的标积，描述基矢间关系
任何量子态可以看做希尔伯特空间中的一个矢量，体系的任何一组对易力学量完全集的共同本征态φk(k代表一组完备的量子数）可以用来构成此态空间的一组正交归一完备的基矢，体系的任何一个态可以用它们展开，这一组就是态在F表象中的表示
量子态在F表象中的表示和它在F'表象中的关系
单位矩阵在任何表象中都是单位矩阵
力学量算符的矩阵表示
矩阵表示的物理意义
任何一个力学量，在以他自己本征态为基矢的表象中，是对角矩阵对角元即本征值
S矩阵的矩阵元是两个表象的基矢之间的标记，刻画基矢之间的关系，当矩阵给定后，任何一个量子态在两个表象中的表示也随之确定，变换矩阵s是幺正矩阵，故变换也常称为幺正变换
量子力学的矩阵形式
狄拉克符号
算符的表象变换
自旋
反常塞曼效应
在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂现象（分裂为偶数条）
正常～：外磁场较强，自旋轨道耦合作用相对来说很小可以忽略；外磁场很弱，或没有时，原子中电子受到自旋轨道耦合作用导致了碱金属双线结构和反常塞曼效应
外磁场较强时，H为～不含自旋轨道耦合，自旋部分可以与空间部分分离，很弱磁场时～
碱金属双线结构
用分辨本领稍高的光谱仪观测钠中很明亮的一条谱线发现其由两条靠的很近的谱线组成，～
原子核及内层满壳电子，近似用屏蔽库伦场表示；非纯库伦场，电子能量本征值与NLJ都有关，2J+1重简并，但自旋轨道耦合很小，NLJ＝L+1/2与NLJ＝L-1/2靠的很近，其造成的能级分裂随原子序数增大而增大，从NA开始才较明显
3P分裂为两条从之跃迁回基态时，发出两条光谱线，589.0589.6D1D2
对应写出相应径向方程
自旋
电子公转的同时又有自转，自转角动量为h把/3，但它在空间任何方向投影只可能取两个值，与自旋相联系的磁矩为玻尔磁子
是电子本身的内禀属性，也成为内禀～和内禀～
泡利算符的概括式
角动量非耦合表象和角动量耦合表象
Bell基
自旋二体算符的共同本征态
量子比特
在量子信息论中把任何2态量子体系称为～
自旋三重/单态
S2，S的共同本征态记为χSMS，S＝1MS＝±1，0的三个态称为自旋三重态，而，称为自旋单态
可分离态和纠缠态
两个粒子组成的复合体系的量子态能表示每个粒子的量子态乘积，则称为可分离态，反之为纠缠态
纠缠态/非局域关联
定义
对粒子①测量动量P，则测量粒子2的动量结果一定是-P，两者之间有确切的关联，！
与不确定关系区别
涉及至少两个彼此对易的可观测量
不确定度关系在多自由度体系情况的推广
特点
测量前不具有特定的值
测量结果间有确切的几率性的关联
判据
AB对易式矩阵C至少有一个矩阵元素不为零
对所有量子态平均值都不为零
力学量本征值的代数解法
xp升降算符代换
角动量升降算符替代
耦合表象变换
微扰
微扰
微扰论思想方法
内容
非简并
简并
微扰论的使用条件
在能量零级修正能级临近存在另外能级，则微扰论展开的收敛性就差，特别是有简并的情况
非简并态微扰论逐级展开收敛性要求
举例
氦原子
电介质极化率
stark效应
原子能级在外加电场中的位移和分裂称为斯塔克效应
对于氢原子能级再外场值出现较大的～，对于其他原子只出现较小的非线性～
散射态
量子跃迁
量子态随时间变化
基本假定
体系状态随时间的演化，遵守含时薛定谔方程
禁戒/选择规则
若H”有某种对称性，使H'k'k＝0,则Pk'k＝0,即在一级微扰近似下，不能由初态k跃迁末态，，k态到k'态的跃迁是禁戒的～
中心力场Enl到En'l'概率
量子跃迁前后能量可以相同，如散射跃迁
跃迁理论和定态微扰的关系
求能量本征值都是一种技巧
加上了某种外界微扰，但可以用不含时微扰论处理，此时微扰时间比体系的特征时间大的多
突发与绝热微扰
突发
突发，但有限
不改变体系的状态（ε作用时间远小于体系特征时间）
量子绝热近似及条件
作为本征态有相位不定性（可以含时）
H（t）随时间变化足够缓慢，体系瞬时本征态随时间的变化频率，比体系的内禀特征频率要小的多
数学表示
周期微扰，有限时间长微扰
如果周期微扰持续时间足够长，则跃迁速率与时间无关
狄拉克函数常常被积分掉/对能量连续变化才有意义
光的吸收和辐射
在光的照射下，原子可能吸收光而从低能级跃迁到较高能级，从较高能级跃迁到较低能级并放出光；分别称为光的吸收和受激辐射；若原子本身处于激发能级，即使没有外界光的照射也可能跃迁到某些较低能级而放出光，称为自发辐射
电偶极辐射角动量选择定则
同多电子原子跃迁选择定则，但不包含除J＝0的限制
Δl＝±1，Δm＝0，±1
宇称改变，Δl＝±1，Δj＝0，±1，Δm＝0，±1
自发辐射的爱因斯坦理论
受激辐射系数等于吸收系数，都与入射光强度无关，为与吸收达到平衡引进自发辐射，相应选择定则与受激辐射完全相同