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考研数学框架
武忠祥老师辅导讲义框架，强化课重点。高数思维导图笔记整理！下图知识点涉及：二重积分、多元函数微分学、常微分方程、一元函数积分学、一元函数微分学等。
编辑于2021-02-21 16:53:35- 相似推荐
- 大纲
高数
函数 极限 连续
函数
基本初等函数
初等函数:基本初等函数有限次复合得到的函数
初等函数在其定义域上连续
对 幂 指 三角 反三角
复合函数
不一定都能复合
f(g(x))，则值域是f(u)，定义域是g(v)
考点
给出两个函数，求复合函数
反函数
不一定都有反函数
关于y=x对称
f^-1(f(x))=x,反函数和函数的复合等于x
条件:对于定义域的每个y，都存在着某种法则，使得唯一一个x与之对应，称为y=f(x)
考点
注意反三角函数的定义域，求三角函数的反三角过程中往往要注意是否需要换元
给出一个函数，求它的反函数
函数组成
定义域
值域
条件:对于定义域的每个x，都存在着某种法则，使得唯一一个y与之对应，称为y=f(x)
函数性态
单调性
定义
单调增(单调不减)
a>b，f(a)>=f(b)
严格单调增
a>b，f(a)>f(b)
单调减(单调不增)
严格单调减
判定
定义
利用导数
前提:f(x)在区间I上可导，或f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导
f'(x)>=0 <=> f(x)单调不减
f'(x)>0 => f(x)严格单调增
考点
分辨f(x)在区域I上单调增和f(x)在某点单调增的区别
判定1.f'(x)在I上大于0 2.f'(0)>0
1.能推出f(x)在区间I上单调增
2.只能推出f(x)在x=0处单调增加，意思是只能得出f(x)的左右领域与f(0)的大小关系，f(x)左右邻域内的其它函数大小关系无从得知，自然也无法得出f(x)在区间I上的单调性
例如:f(x)=x+2x^2sin(1/x)
奇偶性
奇函数
定义
f(x)=-f(-x)
f(0)=0
f(x)关于原点对称且如果f(x)在x=0有定义，则f(0)=0
偶函数
定义
f(x)=f(-x)
函数关于坐标轴对称
判定
导数
f(x)为偶函数，则f'(x)为奇函数 (奇函数相反）
原函数
前提：f(x)连续。f(x)连续必有原函数
f(x)为偶函数，则其原函数中只有一个是奇函数
子主题 1
f(x)为奇函数，则其原函数都是偶函数
子主题 1
使用定义
常用奇偶函数
周期性
定义
f(x+T)=f(x)，则称f(x)以T为周期
判定
利用定义
导数
可导的周期函数，其导函数一定是周期函数，并且周期相同
原函数
可导函数的原函数不一定是周期函数
与原函数的联系
周期函数f(x)的原函数也是周期函数的充要条件是
0~Tf(x)dx=0
有界性
定义
对于任意的M>0,存在一个x在定义域I内，使得|f(x)|<M,则称f(x)在I上有界
判定
定义
连续必有界
f(x)在(a,b)上连续且左右极限存在=>f(x)在(a,b)上有界
f'(x)在区间I(有限)上有界=>f(x)在I上有界
用拉格朗日证明
常用的有界函数
极限
两种极限的定义
数列极限
定义
数列极限与子列的关系
数列极限是否存在，如果存在极限值等于多少与数列的前有限项无关
函数极限
定义
定理
f(x)在x0的极限等于A,则f(x)在x0的左右极限都等于A
需要分左右极限讨论的函数
分段函数在其间断点
e^x型
arctanx型
特别注意函数极限是x->0的情况，此时x趋于0但不等于0，如果题目中分子=0，那么极限必为0，如果分母等于0，比如出现三角函数(sin1/x,x=1/nΠ)的情况，那么此时极限必然不存在
极限的性质
保号性
极限值保函数值 >
函数值保极限值 >=
保序型
A>B,f(x)>G(x)
f(x)>=g(x),A>=B
极限与无穷小的关系
limf(x)=A，则f(x)=A+o(x)
常用做微分证明
局部有界性
极限存在，则f(x)在此x0的某去心邻域内有界
极限存在准则(用定义判定极限是否存在)
单调有界准则
夹逼定理
无穷小
定义
无穷小的比较
高阶
同阶
等价
k阶无穷小
性质
有限个无穷小的和仍然是无穷小
有限个无穷小的积仍然是无穷小
有界量*无穷小量仍然是无穷小
无穷大
定义
常用无穷大,x->+∞时
对<<幂<<指<<阶乘<<n^n
无穷大与无界变量的关系
结论
无穷大量一定无界
用定义证明
无界变量不一定时是无穷大量
区别
无穷大量
对于任意的M>0，存在一个N>0,当x>N时，|f(x)|>M. 说明这个x之后都有|f(x)|>M
无界变量
任意M>),存在N>0,使得|XN|>M
说明只要能找到一个Xn使得|Xn|>M就可以判定它为无界变量
例如Xn=n,n为偶数，=0，n为奇数。是无界变量但不是无穷大量
无穷大与无穷小的关系
互为倒数
f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小
f(x)是无穷小，且f(x)不等于0，则1/f(x)是无穷大
考点
极限概念，性质以及存在准则
极限的计算
七种不定式
0/0，∞/∞，∞-∞，1^∞,0^0，0*∞，∞^0
求函数极限
极限运算法则
limf(x)=A,limg(x)=B则
limf+g=A+B
limf*g=A*G
limf/g=A/B,（B!=0）
推论
极限非零的因子的极限可以先求出来
limf/g存在，且limg=0，则limf=0
limf/g=A!=0，且limf=0，则limg=0
加法
存在+-不存在 一定不存在
不存在+-*÷不存在， 不一定存在
存在*÷不存在，不一定
基本极限
等价无穷小
常用等价无穷小
等价无穷小代换
乘除关系可以换
加减关系需要判断
加法，f+g代换后的v+t，limv/t!=-1，主要是为了避免代换后出现0
减法，f-g代换后的v-t，要求limv/t！=1
洛必达法则
洛必达之后极限要存在
题目中含有fx，要观察洛必达后fx是否存在
条件fx二阶可导，则可以洛到1阶
fx二阶可导且导函数连续，则可以洛到二阶
导函数连续说明 limf''x=f''x0，此时极限存在
条件
limf=limg=0或无穷
f,g在x0的某去心邻域内可导，并且g'x !=0
∞/∞，洛必达后要比原式简单
0/0,洛必达之后看极限是否存在
泰勒展开
必须展开完全
夹逼
定积分定义
单调有界
数列极限
夹逼
适当放缩
夹逼后可能会用到定积分定义
定积分定义(固定部分/变换部分=1)
提1/n
先证单调有界，再取极限
一般单调性容易看出先用这个方法，不行再用第二个
先求极限A，再证明|Xn-A|->0
数列单调性证明
Xn+1-Xn
除法
Xn>0时，Xn+1/Xn>1则增
Xn<0时，Xn+1/Xn >1则减
化为函数
fx增
x1>x2,则Xn减
X1<X2，则Xn增
fx减
数列不单调
常用技巧
先求极限得A
有+-，*÷，用a2+b2》=2ab
求未知参数
抓最高项
同除
求无穷小的阶
洛必达法则
等价无穷小代换
泰勒公式
常用结论
limf(x)=A lim|f(x)|=|A|
(x/1+x)<ln(1+1/n)<1/n
连续
fx在a点连续的三个必要条件
fx在x=a有定义
limfx存在
limf(x)=f(a)
连续的概念
limfx=fa x->a，则fx在a点连续
连续<=>左连续并且右连续
间断点及其类型
第一类 左右极限都存在
可去，左极限=右极限！=函数值
跳跃，左极限！=右极限
第二类 左右极限至少有一个不存在
无穷间断点，极限值为无穷
振荡间断点
极限是否存在与这一点的函数值，函数值是否存在无关
连续函数的性质
有界性
连续函数必有界
介值性
对于fx在值域里面任意一个值c，必有x=a使得fa=c
零点定理
fa<0 fb>0，则存在x=c,a<c<b使得fc=0
最值性
连续函数必有最值
题型
讨论连续性及间断点类型
介值定理，最值定理，零点定理的证明题
一元函数微分学
导数与微分
导数概念
定义
导数定义
左右导数
可导<=>左右导数存在且相等
微分概念
定义
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)
可导<=>可微，并且dy=f'xΔx=f'xdx
导数与微分的几何意义
Δy>dy,Δx≈dx
导数表示某点切线的斜率
微分表示切线的增量
连续，可导，可微之间的关系
基本关系
连续不一定可导，可导一定连续
可导等价于可微
易混淆结论
导数极限定理
可导一定连续
fx可导不一定能推出f'x连续
fx可导不一定能推出limf'x存在
原因是导数极限定理，某些导数求导后极限都不存在，更不用谈连续了，所以limf'x存在是必要条件
导数极限定理
某点导数和去心邻域内导数
函数在n阶有某点的导数，则该函数在该点的领域内n-1阶可导
函数有某点的导数，只是特殊情况，不能推出在该点的去心邻域内函数可导
只有f,g在去心领域内可导才能使用洛必达
只有在去心邻域内可导才能推出函数在该去心邻域内连续
fx在a点存在二阶导数，则fx在a点的去心邻域内一阶可导
fx在a点的去心邻域内存在二阶导数，则f'x连续
求导公式
求导法则
有理运算法则
复合函数求导法
隐函数求导法
反函数的导数
参数方程求导法
对数求导法
高阶导数
常用公式
题型
导数与微分的概念
利用导数定义求极限
利用导数定义求导数
利用导数定义判定可导性
fx=gx|x-a|，则fx可导的充要条件是ga=0
fx可导与|fx|可导的关系
fa!=0,则|fa|可导
fa=0
f'a=0，则|fa|可导
f'a!=0，则|fa|不可导
分段函数可导性
导函数连续
f'a即分段点的导数一般用定义求
非分段点间断点的导数，先求导再求极限，limf'x=f'a则导数连续
根据导数极限定理，也可以直接算第二步，此时极限存在=A则f'a=A，并且导函数连续，不存在则不连续
可导
连续是必要条件
用定义求导数，左右导数相等则导数存在，那么fx在这一点可导
给出导数定义来判断
注意导数定义中无穷小量的要求，Δx->0,要从左右两边趋近于0
如果无穷小量不同，它们必须同阶
导数的几何意义
切线的斜率k=y'
法线=-1/k
相切
切线斜率相同，切点相同
导数与微分的计算
复合函数求导
设Fx=f(gx)，则F'a=
当f'(g(a))=t g'(a)=v都存在时，F'a=tv
当以上两个导数有一个不存在，则求出Fx表达式后用定义计算
参数方程求导
一阶公式，二阶公式(使用时要注意题目是否能满足条件)
求出一阶公式后，二阶导数用定义求出
隐函数求导法
一元函数可以用求导公式，y'=-(F'x/F'y)
或者直接对方程求x的导数，整理即可
求具体点的导数
先把已知点如x代入方程得到y
再对方程求导
反函数求导法
用公式求出一阶导，二阶导数用定义求出
需要注意的是，反函数的导数代入的值是根据y反推出来的，具体看讲义57页
对数求导法
高阶导数
公式
泰勒展开
求导归纳
导数应用
微分中值定理
罗尔定理
fa=fb,则存在c∈(a,b)，f'c=0
拉格朗日中值定理
(fb-fa)/b-a=f'c，c∈(a,b）
fx与一阶导数的联系
柯西中值定理
(fb-fa)/(gb-ga)=f'c/g'c，c∈(a,b)
泰勒定理
fx与高阶导数的联系
证明
所有定理都要求[a,b]上连续(a,b)内可导
极值与最值
极值概念
定义
极值
极值点
易混淆
极值只能在开区间(a,b)上取得，根据定义端点a,b一定不能取得极值
如果最大值在(a,b)上取的，那么函数在该点必取得极大值
极值的必要条件
导数为0的点(驻点)
极值点一定是驻点，但是驻点不一定时极值点(f'x=0但左右不异号)
导数不存在的点
极值的充分条件
第一充分条件
f'a=0,左右导数异号
第二充分条件
f'a=0,f''a>0或<0
第三充分条件
f'a=0,f''a=0,f^na=0
若n为奇数，无极值
若n为偶数，则fn>0时极小，<0时极大
函数的最值
当函数只有一个极值点的时候，这个极值点的值就是最值
1.求出fx在(a,b)内的驻点和不可导点
2.求出fx在第一步所求点的值，再求出端点的值，判断最大最小
曲线的凹向与拐点
凹向
f''x<0,函数凸
f''x>0,函数凹
拐点
f''a两侧凹凸性相反，则点(a,f(a))为拐点
曲线的渐近线
水平渐近线
x趋于无穷的时候，limfx=A,则y=A是一条水平渐近线
垂直渐近线
x趋于x0时，limfx=∞，则x=x0是一条垂直渐近线
斜渐进线
x趋于无穷时，limf/x=a
x趋于无穷时，limf-ax=b
以上a,b都存在，那么y=ax+b时一条斜渐近线
有水平渐近线必然没有斜渐近线，反之同理
常考题型
函数的单调性，极值，最值
曲线的凹向，拐点，渐近线，曲率
方程根的存在性及个数
存在性
零点定理
证明出fx至少有几个根，用这个方法证明出来的根一定是存在的
罗尔定理
对fx的原函数用
根的个数
单调性
证明fx最多有几个根
罗尔定理推论
若f^nx≠0，则fx在I上最多有n个实根
一般先用单调性，求驻点，求单调区间，来求fx最多有几个根
然后再用零点定理，或者求两侧极限来说明fx至少有几个根
证明函数不等式
方法
单调性
求端点值，端点导数值
根据题目验证导数>0或<0
最大最小值
拉格朗日中值定理
给出了点的值和关系，欲证fc或者f'c大于小于0
泰勒公式
先用公式展开，带入某点，然后放缩
凹凸性
函数为凹，则f(x)一定大于它所有的切线，若能找出y=kx+b是一条切线，那么f(x)一定大于kx+b。凸函数同理
微分中值定理有关的证明题
仅有1个
构造辅助函数
还原法
常用公式
用罗尔定理
有两个
不要求相同
用两次中值定理
要求不相同
选取某个点c，一般使得fc，f'c为特殊值，划分区间
点c的构造方法:先设c存在，然后用两次中值定理表示f'a,f'b
代入要证的式子中，找关系，一般来说fc=c不一定有交点，fc=1-c,fc=a/a+b这样写过来的才对
分别用中值定理
出现高阶导数
泰勒展开
要证几阶就展开到几阶
选取已知条件最多的点展开，优先选择导数点
证明过程中常用到绝对值|a|-|b|<=|a-b|<=|a|+|b|
一元函数积分学
不定积分
基本概念
原函数的存在性
连续必有原函数
有第一类必没有原函数
有第二类间断点有可能有原函数
不定积分的性质
基本积分公式
三种主要积分法
第一类换元
第二类换元
三种变量代换
根号下a^2-x^2，令x=asint
根号下a^2+x^2，令x=atant
根号下x^2-a^2，令x=asect
分部积分法
一般两类不同的函数可以用分部积分
设Pn是多项式
Pn*三角函数，Pn*e,先把Pn以外的函数放回dx
Pn*lnx,Pn*arctanx，Pn*arcsinx，把pn放回dx
三类常见可积积分
有理函数积分
拆开分母，变成相加的形式再积分
特殊方法:+-*÷，三角降幂升幂(二倍角，平方和，平方差)，还原
三角有理式积分
万能代换
令u=sinx,u=cosx,u=tanx
简单无理式积分x*gx
令gx=t，反解出x即可
题型
计算不定积分
不定积分混合题
求分段函数的积分
先写出分段表达式
对每一段进行积分
分段函数连续，则原函数连续，对每个间断点求极限定C
定积分
概念
几何意义
可积性
必要条件
有界
充分条件
连续必可积
有界+有限个间断点可积
有限个第一类间断点可积
计算
牛顿莱布尼兹公式
换元
分部积分法
奇偶性和周期性
周期性
0~nT=n*(0~T)
公式
点火公式
0~Π，xf(sinx)=Π/2f(sinx)
变上限积分
技巧：fx=边上限为x的积分
性质
不等式
f≤g，则f的积分≤g的积分
m(b-a)≤f的积分≤M(b-a)
积分的绝对值小于等于绝对值的积分
积分中值定理
f在[a,b]上连续
广义积分中值定理
f,g连续，g不变号
使用时要注意最好把有界的函数提出来
题型
概念性质及几何意义
一般与极限搭配
计算
常用的技巧，如换元，倒带换，常用结论，比如圆域的积分
倒带换常常用于多个高次方x相加减
有绝对值分区间计算去掉绝对值
fx=某个不好算的积分，再求fx的积分
分部积分
累次积分交换顺序
I=三角函数/三角函数±三角函数，讲义p98
倍角公式，x->x+Π/4
化为A分母+B分母的导数/分母，确定AB即可
某些不好找原函数，但是分子分母能消去的，考虑上下同乘或者代换
变上限积分
常用性质，概念p100
奇偶性
连续，可导
与极限搭配的混合题
积分中值定理
求导
变上限积分内部等价代换
广义积分中值定理
变上限积分的几何意义，判断面积大小
Fx作为函数，证明最值
求导找驻点，判断极值点(求二阶导，分析)
代入，即可
积分不等式
方法
变量代换
积分中值定理
变上限积分
柯西积分不等式
证明题常用技巧
fx化为变上限积分f't
分析部分的可导性
子主题 3
反常积分
公式
计算
定积分应用
求面积
求绕某条线旋转的体积
求弧长（周长），侧面积
物理应用
四种曲线
双扭线
星形线
心脏线
摆线
常微分方程
概念
一阶微分方程
可分离
齐次
线性方程
可降阶微分方程
y的n阶，连续积分
不显含y
不显含x
高阶线性微分方程
解的结构
常系数齐次
根据特征方程的根通解可以分成三种形式
两个不同的实根
两个相同的实根
复根
常系数非齐次
根据非齐次项fx的形式，特解可以分为两种形式
fx=多项式*ex
fx=ex*（多项式*三角函数）
题型
微分方程求解
求解出微分方程的表达式
一般是常规的一阶微分方程和可降阶微分方程
常用方法：换元，倒带换
题目要求特解可以代入把等式变成0
让你设非齐次的特解形式
思路
先求特征根
再分析非齐次的式子，有+号拆开分析，然后看它是否有特征根，有则乘x
题目
给出微分方程直接问
给出三个特解
给出一个解
暴力：直接代入求导确定系数
综合题
一般和求导，反函数混合出题
应用题
面积题，涉及到一重积分，切线，截距等
物理应用题，涉及到变化率等，主要是设方程
多元函数微分学
概念理论
概念
重极限
连续
偏导数
全微分
连续可导可微
题型
讨论连续性，可导性，可微性
偏导数与全微分的计算
方法
复合函数求导法
全微分形式不变性
隐函数求导法
题型
求一点的偏导数和全微分
直接求即可
求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分
直接求即可
含有抽象函数的复合函数偏导数和全微分
复合函数求导
列关系树
隐函数的偏导数和全微分
隐函数求导公式
隐函数求偏导
求全微分
常见描述：对x偏导为0，则说明表达式中不含x。对z偏导不为0，则说明函数是关于z的函数
极值与最值
方法
无条件极值
条件极值和拉格朗日乘数法
最大最小值
题型
求无条件极值
用ABC判别求即可
求最大最小值
在约束条件下
一般方法：拉格朗日乘数法
在区域D中
先求D内部驻点，如果驻点在外部则说明极值在边界上，如果D中存在驻点，那么代入即可
再用拉格朗日乘数法求边界上的极值
比较即可得出最大最小
二重积分
概念
几何意义
二重积分是一个数，它等于以积分区域D为底，以曲面z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体体积
性质
不等式性质
f<g
i介于最大值最小值
积分的绝对值小于绝对值的积分
积分中值定理
计算
直角坐标
极坐标
极坐标交换次序
对称性和奇偶性
奇偶性
先检查积分区域D的对称性，再检查奇偶性
如果关于y轴对称，并且fx关于x有奇偶性
奇函数=0
偶函数=2...
关于x轴对称，并且fx关于y有奇偶性
奇函数=0
偶函数=2...
对称性
交换f(x,y)变为f(y,x)，此时积分区域也要改变，但它们的值相等
对某些积分可能要相加起来才好算，这时候要注意积分区域和f的变化
函数关于y=x对称时，交换后积分区域不变，如果fx不关于y=x对称，那么积分区域是新的积分区域
切记：不能一看到区域对称就化为小区域计算，必须要检查是否有奇偶性！！！！
变量对称性
题型
计算二重积分
注意辨析T13,T14!!
T13,是不同被积函数，虽然区域可以合并为无穷，但是因为被积函数不同，不能直接合并。不过可以通过坐标变换把y=x上的区域积分转化为另一个区域上的积分从而计算
T14，可以通过交换xy得到一个新的区域积分，由于被积函数相同，这两个积分可以相加，同时区域合并为一个大的区域
累次积分交换次序
交换时注意以谁为底，上下限颠倒的话要加正负号
综合题（难点）
一元积分中值定理
二元积分中值定理，变成函数值和积分面积的乘积
二元证明联系一元积分的证明题
泰勒
分部积分
拉格朗日
不等式