初中数学思维导图：相交线（垂线）1

初中数学思维导图：相交线（垂线）1，含有小学部分的知识，黑体字是小学部分。包含垂线性质、对顶角、邻补角等。

相交线（垂线）

• 垂直
  • 在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两个：相交或平行。
  • 垂直的定义
    • 在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，使得∠α=90⁰，我们说a与b互相垂直，记作： a⊥b。
  • 垂线的定义
    • 定义
      • 当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图： AB⊥CD，垂足为O。
    • 相交所成的角
      • 当两条直线垂直时，相交所成的4个角均为直角；反之，若两条直线相交所成的4个角中任意一个为直角，则两直线互相垂直。
• 垂线性质
  • 垂直的性质
    • 只有一条垂线
      • （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
    • 垂线段最短
      • （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短，如图，点p与 l 与各点所连线段PM、 PM 1 、PM 2........中,PM最短。
    • 提示
      • （1）可以过直线上一点或直线外一点，画已知直线的垂线，并且只能画出一条垂线来。
      • （2）过一点画射线或线段的垂线时，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线上或在线段的延长线上。如图
  • 点到线的距离
    • 定义
      • 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
    • 与两点距离的区别
      • 如表：
  • 提示
    • 垂线段是一个数量
      • 垂线是直线，垂线段特指一条线段，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量是有单位。如cm等。
    • 求点到直线距离的步骤
      • 在图形中确定点到直线的距离，首先要做出这点到直线的垂线段，然后求垂线段的长度。
• 对顶角
  • 定义
    • 有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角，如图∠1和∠2、∠3和∠4都是对顶角
  • 对顶角的性质
    • 对顶角相等
  • 提示
    • (1)判断两个角是不是对顶角的关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是不是另一个角的两边的反向延长线。
    • (2)对顶角是成对出现的。
    • (3)两条直线相交所构成的四个角中，有两对对顶角。
    • (4)若两个角互为对顶角，则它们一定相等；反之，若两个角相等，则它们不一定互为顶对角。
• 邻补角
  • 定义
    • 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，如图∠1和∠2，∠1和∠4，∠3和∠4，∠2和∠3互为邻补角
  • 邻补角的性质
    • 邻补角互补，即两者之和等于180⁰
  • 提示
    • （1）判断两个角是不是邻补角，关键是看这两个角的两边，其中一边是公共边，它们的另一边互为反向延长线
    • （2）邻补角是成对，出现的是具有特殊位置关系的互补的两个角
    • （3）两条直线相交所成的四个角种有四对邻补角
    • （4）邻补角与补角是两个不同的概念，互补的两个角只有数量关系，没有位置关系，只要这两个角的和等于180⁰即可，而邻补角不但有数量上的关系还有位置上的关系
• 同位角、内错角与同旁内角
  • 形成条件
    • 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，它们构成同位角、内错角与同旁两内角如图，直线AB、CD与EF相交（也可以说两条直线ABCD被第三条直线EF所截），构成八个角
  • 同位角
    • 图中∠1与∠5这两个角分别在直线AB、CD的同一方（上方），并且都在直EFf同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同位角,∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7都是同位角。
  • 内错角
    • 图中，∠3与∠5这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧，具有这种位置关系的同一个对角叫做内错，∠4和∠6是内错角。
  • 同旁内角
    • 图中∠3与∠6也都在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。∠4、∠5也是同旁内角。
  • 识别举例
    • 如图：同位角有：∠1与∠3，∠4与∠6； 内错角有：∠2与∠4，∠3与∠5； 同旁内角有：∠ 2与∠5，∠1与∠6，∠3与∠4，∠1与∠2，∠5与∠6 。
• 利用对顶角、邻补角的性质进行角度的计算的方法
  • 思路
    • 思路：在角的计算中，常常要用到对顶角和邻补角有关性质，求一个角的度数时，注意这个角与哪些角具有数量关系，然后结合已知条件选择一个适当的关系去求角，另外，也常常借用代数法以达到求解的目的
  • 题目
    • 如图：题目：直线AB和CD交于点O, OE ⊥AB，垂足为点O ，OP平分∠EOD，∠AOD=144⁰，（1）求∠AOC与∠COE的度数。（2）求∠BOP的度数
  • 解答（1）54⁰、（2）27⁰
• 同位角、内错角与同旁内角的识别方法
  • 思路
    • 判断同位角、内错角、同旁内角时，需要弄清它们是由哪两条直线被第三条直线所截而成的，最简单的方法是两个角的公共边所在的直线是截线，其余两边就是被截的两条直线。
  • 图解（如表）
• 利用”垂线段最段“解决实际问题的方法
  • 思路
    • 在解决实际问题时，首先将实际问题转化为”数据模型“，然后利用”垂线段最短“解决问题。例如，”求某点到河边的最短距离“，实质上是过这一点向河边作垂直线，应用垂线段最短的这个性质。
  • 题目
    • 如图所示，火车站、码头分别位于A、B两点，直线a和b分别表示河流与铁路。
  • 解答
    • （1）连接AB，沿线段AB走。理由:两点之间线段最短（2）过点B作b的垂线BE，垂足为E沿BE走,理由：垂线段最短。（3）过点A做a的垂线AF,垂足为F，沿AF走，理由：垂线段最短。
• 乐享其中