信号与系统 第一章第三节 系统的描述及其分类

参考课程：谷哥+小马哥23年梦马全程班 参考教材：何子述(成电)+杨晓非(重邮) 使用建议：按照自己的复习大纲选择性，非顺序使用 注意事项：内容不太完整，但应该较为详细，内容偏基础知识点，谷哥和小马哥23年10月后的强化内容不包括其中，无售后，可交流，望考虑后购买！

第三节 系统描述及其分类

• 【考点一】系统的描述
  • 1.系统模型
    • ①数学模型
      • 连续系统---微分方程 离散系统---差分方程
      • LTI连续时间系统---常系数齐次线性微分方程 LTI离散时间系统---常系数齐次线性差分方程
    • ②框图模型
      • 用方框表示系统，两端分别为输入端和输出端 箭头表示信号流向
  • 2.系统的描述
    • 连续时间系统
      • ①数学模型： 初始状态为零：y(t)＝S[f(t)] (S表示系统) 初始状态不为零：y(t)＝S[f(t),x(t₀)]
      • ②LTI连续时间系统的模拟框图
    • 离散时间系统
  • 3.LTI连续时间系统
    • 1.数学模型：常系数齐次线性微分方程 响应及其各阶导数的线性组合＝激励及其各阶导数的线性组合 【注】对LTI系统而言： ①系数为常数---保证时不变性 ②不含有常数项---保证线性
    • 2.模拟框图
      • ⑴基本运算单元
        • ①加法器：
        • ②标量乘法器：
        • ③积分器：
      • ⑵模拟框图的画法
        • ①微分方程→模拟框图
          • 类型一：等式右端仅有f(t) Step1：移项使得等式左端仅最高阶导数 Step2：依次画出加法器，积分器×n ...
          • 类型一：等式右端有f(t)及其各阶导数 Step1：取中间变量q(t)，令f(t)→q(t) Step2：按照类型一画出f(t)→q(t)的框图 Step3：根据LTI特性知∑q(t)→y(t)🉐最终框图
        • ②模拟框图→微分方程
          • 围绕加法器列等式
        • 【注】①突破口：根据加法器列等式 ②积分器个数＝微分方程阶数
  • 4.LTI离散时间系统
    • 1.数学模型：常系数齐次线性差分方程 响应及其各阶导数的线性组合＝激励及其各阶导数的线性组合 【注】对LTI系统而言： ①系数为常数---保证时不变性 ②不含有常数项---保证线性
    • 2.模拟框图
      • ⑴基本运算单元
        • ①加法器：
        • ②标量乘法器：
        • ③加法器：
      • ⑵模拟框图的画法
        • ①微分方程→模拟框图
          • 类型一：等式右端仅有f(t) Step1：移项使得等式左端仅最高阶导数 Step2：依次画出加法器，积分器×n ...
          • 类型二：等式右端有f(t)及其各阶导数 Step1：取中间变量q(t)，令f(t)→q(t) Step2：按照类型一画出f(t)→q(t)的框图 Step3：根据LTI特性知∑q(t)→y(t)🉐最终框图
        • ②模拟框图→微分方程
          • 围绕加法器列等式
        • 【注】①突破口：根据加法器列等式 ②积分器个数＝微分方程阶数
  • 5.LTI系统特性
    • 线性，时不变性和微积分特性
• 2.系统的分类与特性
  • 1.连续时间系统与离散时间系统
    • ①连续时间系统：响应与激励均为连续信号，表示为h(t) ②离散时间系统：响应与激励均为离散信号，表示为h(n)
  • 2.(即时)无记忆系统与(动态)记忆系统
    • ①无记忆系统：(描述为代数方程) 系统在某时刻输出仅与当前时刻的激励有关， 而与之前时刻激励无关，否则为记忆系统.
    • 【注】注意区分记忆系统和因果系统
    • ④结论：有时移或尺度变换(a≠1)的系统是记忆系统
  • 3.时变系统与时不变系统
    • ①定义
    • ②判定
      • 简易表达式
      • 微分方程描述： 方法一：已知：描述系统的微分或差分方程 若：其各项系数与自变量无关，则为时不变系统 若：其各项系数与自变量有关，则为时变系统 方法二：Step1：假设为时不变系统，则f(t-t₀)→y(t-t₀)，代入微分方程 Step2：方程两端同时取t＝t-t₀ 若：两式相等，则假设成立，否则为时变系统.
    • ③结论： ⅰ.对简易表达式而言： 激励中的t具有非1系数(e(at)中a≠1)，则系统时变 激励外含有t，则系统时变. ⅱ.分段函数以t分段，则系统时变. ⅲ.微分与积分系统为时不变系统.
  • 4.线性系统与非线性系统
    • ⑴定义
    • ⑵判断依据
      • 简易表达式
      • 微分方程描述： Step1：假设为线性系统，则af₁(t)+bf₂(t)→ay₁(t)+by₂(t)，代入微分方程 Step2：......见例题 若：两式相等，则假设成立，否则为非线性系统. 【注】①若等式中含有常数项，则为非线性系统 ②若方程非常系数，则为非线性
    • ⑶结论：对于电路系统，若满足叠加性，则必然满足齐次性
    • ⑷线性连续系统的微分性与积分性
    • ⑸线性离散系统的差分性和累加性
    • ⑹记忆系统的分解性及线性记忆系统的零输入线性，零状态线性
      • 【注】不满足分解性的系统为非线性系统
    • ⑺双零法的线性时不变性
  • 5.因果系统与非因果系统
    • ①因果系统： 系统在某时刻的响应仅与该时刻及其之前时刻的激励有关， 而与之后时刻激励无关，即：响应不出现于激励之前，否则为非因果系统 Tips：一切可实现系统均是因果系统.
    • ③结论：积分系统为因果系统
  • 6.系统的稳定性
    • ①定义
    • ②判定依据
    • 【注】移位和尺度变换不改变幅度
  • 7.可逆系统
    • ①定义
    • ②结论：求导系统是不可逆系统
  • 【注】输入输出间的线性时不变性不包含尺度变换，如：清华例题
• 动态与即时
  • 即时（无记忆）系统
    • 任一时刻响应只与该时刻的激励有关
  • 动态（记忆）系统
    • 定义： 任意时刻的响应＝该时刻激励+系统历史状态 含有记忆元件:电容，电感的系统
    • 动态系统全响应y(▪)＝T[{f(▪)}，{x(0)}]（其中f为激励，x为初始状态） 动态系统的零输入响应：激励f(x)＝0，T[{0}，{x(0)}] 动态系统的零状态响应：初始状态x(0)＝0，T[{f(▪)}，{0}]
    • 动态系统是线性系统的条件： ①可分解性：全响应＝零输入响应+零状态响应 ②零输入响应线性 ③零状态响应线性