信号与系统 第四章第一节 拉普拉斯变换及收敛域

参考课程：谷哥+小马哥23年梦马全程班 参考教材：何子述(成电)+杨晓非(重邮) 使用建议：按照自己的复习大纲选择性，非顺序使用 注意事项：内容不太完整，但应该较为详细，内容偏基础知识点，谷哥和小马哥23年10月后的强化内容不包括其中，无售后，可交流，望考虑后购买！

第一节 拉普拉斯变换及收敛域

• 【考点一】拉普拉斯变换定义及理解
  • 1.从FT到LT
  • 2.LT表达式的理解
    • 【考】
  • 3.拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系
• 【考点二】拉普拉斯变换及其收敛域(ROC)
  • 1.拉氏变换存在的条件
  • 2.收敛域定义
  • 3.收敛域的表示
    • 收敛域可在以σ为横轴，jω为纵轴的s平面上绘制区域来说明
  • 4.收敛域的求解
  • 5.逆因果信号的LT
  • 6.双边LT的求解方法
    • 将f(t)分为因果信号和反因果信号 分别求拉氏变换，再将两部分相加
  • 相关结论
• 【考点三】典型信号的单边拉氏变换---实际问题中，常用信号都是因果信号
  • 1.单边拉氏变换定义式
    • 【注】下限的0₋是为了把t＝0时出现的冲激及其各阶导数包含在内. 若信号在t＝0时没有冲激及其导数，则下限可写作0.
    • 【注】对因果信号而言，单边与双边拉氏变换相同
  • 2.单边拉氏变换的收域
  • ①单边实指数信号
  • ②单位冲激信号
    • 【注】同FT
  • ③单位冲激偶信号
  • ④单位阶跃信号
  • ⑤单边直流信号
    • 【注】E＝1时，单边LT与单位阶跃信号的LT一样
  • ⑥单边t的正幂信号
  • ⑦cos(ω₀t)u(t)
  • ⑧sin(ω₀t)u(t)
  • ⑨te⁻ᵃᵗu(t)
  • ⑩周期冲激串
  • ⑪单边双曲函数
    • 【注】双曲函数
  • 【注】①单边拉氏反变换结果要×u(t) ②同一象函数对应着两个原函数，一个因果信号，一个是非因果 信号，区别在于：反因果信号多了两个负号，一个在u(-t)， 一个在函数前.
• 【考点四】单边拉氏变换的性质
  • ①线性性质
    • 【典型应用】cos(ω₀t)u(t)，sin(ω₀t)u(t)的LT的求解
  • ②移位性质
    • 时移性质
      • 【注】单边拉氏变换的时移性质只在右移时才满足 若左移则信号t＜0的部分信息丢失.
    • 复频移性质
      • 【典型应用】f(t)cos(ω₀t)的单边拉式变换---欧拉公式
  • ③尺度变换性质
    • 【注】时域压缩(扩展)，频域扩展(压缩)；信号持续时间与带宽成反比
  • ④时域微分性质
    • 【注】特别的，若f(t)为因果信号，则f(0₋)＝0.
    • 【注】对于单边拉氏变换而言，f(t)与f(t)u(t)的单边拉氏变换相同 而f'(t)和[f(t)u(t)]'的单边拉氏变换多数不同，取决于f(0₋)值 因此若f(t)含有u(t)，δ(t)等，则应先求导再拉氏变换，而非直接使用时域微分性质
    • 【典型应用】利用拉氏变换求系统响应(见笔记)
  • ⑤时域积分性质
    • 【考】
    • 【典型应用】三角脉冲(因果)信号求象函数
  • ⑥时域卷积定理
    • 【注】时域卷积，频域相乘
    • 【考】
      • ①拉氏逆变换求卷积
      • ②有始周期信号(t≥0)的拉氏变换
  • ⑦复频域卷积定理
    • 【注】时域相乘，频域卷积且1/2πj
  • ⑧复频域微分
    • 【考】看到某个信号前面×t(仅一个t就行，不用像时移性质那 样配对)，考虑频复域微分性质
  • ⑨复频域积分
    • 【注】复频域积分使用条件：t→0时，f(t)→0
    • 【考】看到某个信号前面÷t，考虑频复域积分性质
  • ⑩初值定理
  • ⑪终值定理
    • 【注】终值定理使用条件：收敛域包含s＝0
• 拓展
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