八年级下册 数学 知识梳理

这是一篇关于八年级下册 数学 知识梳理的思维导图。下图对数学中的几何与代数知识进行了细致的内容整理，其中几何包括三角形、平行四边形、图形的平移与旋转三部分，代数包括不等式与不等式组、因式分解、分式与分式方程三部分。如果对你有帮助的话，就动动手指点个赞吧！

八年级下册 数学 知识梳理

• 第十六章 二次根式
  • 16.1 二次根式
    • 二次根式的双重非负性
      • 在√a中，√a≥0；a≥0
    • 二次根式的定义
      • 形如√a的式子叫做二次根式（quadratic radical）
    • 二次根式更多
      • (√a)²=a（a≥0）
      • √(a)²=|a|
    • 代数式
      • 运用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）将数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式（algebraic expression）
    • 最简二次根式
      • （1）被开方数不含分母
      • （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
      • 满足上述两个条件的二次根式，
      • 叫做最简二次根式（simplest quadratic radical）
      • 在二次根式的运算时，一般要把最终结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式
  • 16.2 二次根式的运算
    • 二次根式的乘法法则
      • √(a) · √(b) = √(ab) （a ≥ 0，b ≥ 0）
      • √(ab) = √(a) · √(b) （a ≥ 0，b ≥ 0）
    • 二次根式的除法法则
      • √(a) / √(b) = √(a/b) （a ≥ 0，b﹥0）
      • √(a/b) = √(a) / √(b) （a ≥ 0，b﹥0）
    • 二次根式的加减法则
      • 二次根式加减时，可以先将二次根式化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根数进行合并。
  • 16.3 海伦-秦九昭公式
    • 如果一个三角形三边长分别为 a，b，c，记 p = (a+b+c) / 2
    • 那么面积 S = √( p (p-a) (p-b) (p-c) )
• 第十七章 勾股定理
  • 17.1 勾股定理
    • 勾股定理（Pythagoras theorem）
      • 如果直角三角形两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a² + b² = c²
    • 勾股定理的证明
      • 赵爽弦图 
        • 加菲尔德证法 
          • 加菲尔德证法变式
            • 青朱出入图
              • 欧几里得证法
  • 17.2 勾股定理的逆定理
    • 勾股定理的逆命题
      • 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a² + b² = c² ，那么这个三角形是直角三角形
    • 互逆命题
      • 如果两个命题的题设、结论正好相反（如勾股定理与勾股定理的逆定理），
      • 那么这两个命题叫做互逆命题。
      • 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
    • 逆定理的证明
      • 证法1
        • 根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a²+b²-c²）÷2ab。
        • 由于a²+b²=c²，故cosC=0；
        • 因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）
      • 证法2 
      • 证法3 
        • 已知在△ABC中，a²+b²=c²，求证△ABC是直角三角形
        • 证明：做任意一个Rt△A'B'C'，使其直角边B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。设A'B'=c'
        • 在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得，A'B‘²=B'C'²+A'C'²=a²+b²=c’²
        • ∵a²+b²=c²，∴c‘=c
        • 在△ABC和A'B'C'中，
        • ∵AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'，
        • ∴△ABC≌△A'B'C'
        • ∴∠C=∠C'=90°
• 第十八章 平行四边形
  • 18.1 平行四边形
    • 中位线
      • 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
      • 三角形中位线定理
        • 三角形的中位线平行于三角形的第三边
        • 三角形的中位线等于三角形第三边的一半
    • 平行四边形（parallelogram）
      • 平行四边形的定义
        • 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形
      • 平行四边形的性质
        • 平行四边形对边相等
        • 平行四边形对角相等
        • 平行四边形对边平行
        • 平行四边形对角线互相平分
      • 平行四边形的判定
        • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
        • 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
        • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
        • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
        • 对角线互相平分的四边形是平行四边形
  • 18.2 特殊的平行四边形
    • 矩形（rectangle）
      • 矩形的定义
        • 有一个角是直角的平行四边形是矩形
      • 矩形的性质
        • 矩形拥有平行四边形的所有性质
        • 矩形的对角线相等
        • 矩形的四个角都是直角
      • 矩形的判定
        • 对角线相等的平行四边形是矩形
        • 有三个角是直角的四边形是矩形
      • 直角三角形的性质
        • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
    • 菱形（rhombus）
      • 菱形的定义
        • 有一组临边相等的平行四边形是菱形
      • 菱形的性质
        • 菱形拥有平行四边形的所有性质
        • 菱形的四条边都相等
        • 菱形的两条对角线互相垂直
        • 菱形每一条对角线平分一组对角
      • 菱形的判定
        • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
        • 四条边相等的四边形是菱形
    • 正方形（square）
      • 正方形既是矩形，又是菱形
      • 它的四条边都相等，四个角都是直角
      • 它既有矩形的性质，又有菱形的性质
• 第十九章 一次函数
  • 19.1 函数
    • 变量与函数
      • • 变量（variable）
          • 数值发生变化的量
        • 常量（constant）
          • 数值始终不变的量
      • • 在一个变化中，若有两个变量x与y，
        • 并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应
        • x是 自变量（independent variable）；y是 x的函数（function）
        • 如果当 x=a 时 y=b，那么b 叫做当自变量的值为 a 时的 函数值
      • 解析式（analytic expression）
        • 像 y = ax + b 这样
        • 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系
        • 是描述函数的常用方法
        • 这种式子叫做函数的解析式
    • 函数的图像
      • 图像（graph）
        • 把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标
        • 坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像
      • 描点法步骤
        • 1.列表
          • 列出一些自变量及其对应函数的值
        • 2.描点
          • 以自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标
          • 描出表格中数值对应的各点
        • 3.连线
          • 按照横坐标从小到大的顺序
          • 将所描出的各点用平滑的曲线连接起来
      • 三种表示函数的方法
        • 解析式法（写函数解析式）
        • 列表法（列表格）
        • 图像法（画函数图像）
  • 19.2 一次函数
    • 正比例函数（pro-portional function）
      • 形如 y=kx（k为常数，k≠0），其中k叫比例系数
      • 正比例函数 y=kx 的图像是一条经过原点的直线，我们称它为 直线y=kx
      • 当k＞0时，直线y=kx 经过第一、第三象限，y随x的增大而增大
      • 当k＜0时，直线y=kx 经过第二、第四象限，即y随x的增大而减小
      • 过原点和点（1，k）的直线，即正比例函数 y=kx 的图像
    • 一次函数（linear function）
      • 形如 y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
      • 一次函数y=kx+b的图像直线y=kx+b 可以由直线y=kx向上平移b个单位长度得到
      • 当k>0时，y随x的增大而增大；当k
      • 待定系数法
        • 先设出函数解析式
        • 再根据条件确定函数解析式中未知函数以得出函数解析式
    • 一次函数与方程、不等式
      • 一元一次方程
        • 任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式
        • 解其相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
      • 一元一次不等式
        • 任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+bax+b>0（a≠0）的形式
        • 解其相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值大于0或者小于0时，求自变量x的取值范围
      • 二元一次方程组
        • 每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
        • 每个这种二元一次方程组，都对应两个一次函数，也对应两个直线
        • • 从“数”的角度来看解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等
          • 从“形”的角度来看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标
        • 方程（组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把他们统一起来。解决问题时，应根据具体状况灵活结合考虑
  • 19.3 课题学习 选择方案
• 第二十章 数据的分析
  • 20.1 数据的集中趋势
    • 平均数（average）
      • 权(weight)
        • 对不同类型的数据赋予的比重
      • 加权平均数(weighted average)
    • 中位数(median)
      • 将一组n个数据从小到大（或从大到小）排列
      • 若n为奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数
      • 若n为偶数，则处于中间位置两个数的平均数为这组数据的中位数
    • 众数（mode）
      • 一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数
      • 能够更好的反应器集中趋势
  • 20.2 数据的波动程度
    • 方差(variance)
      • 定义
      • 应用
        • 方差越大，数据的波动越大
        • 方差越小，数据的波动越小
    • 数据波动的几种度量
      • 1.平均差：每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数
      • 2.标准差：方差的算术平方根
      • 3.极差：一组数据的最大值与最小值的差（受极端值影响大）