导数

这是一篇关于导数的思维导图。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

导数

• 计算
  • 复合函数求导
  • 导数求错，所有白做
• 切线
  • 在点处的切线
  • 过点处的切线
  • 切点是关键
• 切线型不等式
  • 用导数求做差后的函数的最值来证明，有些需要二次求导。
• 含参问题
  • 含参恒成立
  • 含参能成立
  • 主参（不）完全分离求最值
  • 含参交点个数
    • 主参（不）完全分离画图像
  • 含参单调性
    • 分类讨论依据
      • 二次函数系数讨论，开口、判别式、对称轴
      • 导数等于0的根是否有意义
      • 导数等于0的根是否在定义域或者所给定的区间
      • 导数等于0的根存在多个时，根的大小比较
    • 数形结合注意事项
      • 定义域，如
      • 极限值，如
      • 渐近线，如
  • 与几个重要函数中的超越函数有密切关系
• 构造函数常见形式
  • 和型变积型
  • 差型变商型
• 最值
  • 不等式类型 与最值的关系 ∀x∈D,f(x)>M ∀x∈D,f(x)min>M ∀x∈D,f(x)<M ∀x∈D,f(x)max<M ∃x0∈D,f(x0)>M ∀x∈D,f(x)max>M ∃x0∈D,f(x0)<M ∀x∈D,f(x)min<M ∀x∈D,f(x)>g(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0 ∀x∈D,f(x)<g(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]max<0 ∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)max ∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)min ∃x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)max>g(x2)max ∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)max>g(x2)min
  • 求解恒成立和能成立问题的根基
• 单调性
  • 导函数的正负和函数的增减对应，利用导函数示意图或者表格来求单调区间
• 极值
  • 极值点
    • 极小值点
    • 极大值点
  • 极值
    • 极大值
    • 极小值
  • 导数等于零的根并不一定是极值点，极值点不是点，是导数等于零的根，不要写成点的形式。注意检验导数等于零的根是不是极值点。
• 基本过程：第一步求导，注明定义域，第二步求导数等于0的根，第三步画表格，第四步下结论