数量问题解题方法 思维导图

这是一篇关于数量问题解题方法的思维导图。包含了工程问题、行程问题、最值问题、溶液问题、几何问题、容斥问题

问题合集

• 工程问题
  • 核心公式
    • 工作总量（I）=工作效率（P）*工作时间（T）
  • 比例关系
    • 时间一定
    • 效率一定
    • 其余两项为正比
    • 工作总量一定
      • 效率与时间为反比
  • 方法
    • 赋值法
      • 给定时间
        • 题型特征
          • 赋值工作总量（赋值时间的最小公倍数）
        • 固定套路
          • 赋总量——求效率——代入计算
      • 给定效率比
        • 直接给出比例
        • 间接给出比例
        • 给效率赋值
      • 效率赋值1
        • 题型特征
          • 出现若干个相同主体
        • 固定套路
          • 赋值最小主体的效率均为1
    • 方程法
      • 已知效率或工作量的差值
  • 常考题型
    • 工作时间一定
      • 赋值总量为时间的公倍数
    • 效率比一定
      • 赋值效率
    • 人数或机器数一定
      • 赋值每个人效率为1
    • 效率或工作量差值一定
      • 设未知数解方程
    • 根据题意求解
• 行程问题
  • 核心公式
    • 路程（S）=速度（v）*时间（T）
  • 比例关系
    • 路程一定
      • 速度与时间为反比
    • 速度一定
      • 路程与时间正比
    • 时间一定
      • 路程与速度正比
    • 正比
  • 常考题型
    • 基础行程
      • 火车过桥； 汽车过隧道
        • 例1：火车通过整座大桥，从车头上桥到车尾离桥，求行驶全长？行进路程=桥长+车长=速度*时间
        • 例2：火车在大桥上，从车位进桥至车头离桥，求行驶全长？行进路程=桥长-车长=速度*时间
    • 等距离平均速度
      • 以不同的速度形式相同距离，求平均速度
      • 公式：V平均=2V1V2/(V1+V2)
      • 题型标志
        • 1.前半段、后半段
        • 2.往返
        • 3.上坡、下坡
        • 同时出现，一定为此类题
    • 相遇追击
      • 相遇问题
        • 总路程=（大速度+小速度）*相遇时间
      • 追及问题
        • 路程差=（大速度-小速度）*追击时间
      • 环形问题
        • 特征
          • 封闭轨道
        • 相同点出发
          • 追及：每追上一次，多走一圈
          • 相遇：每碰到一次，共走一圈
    • 流水行船
      • 顺流
        • 路程=（船速+水速）*时间（顺）
      • 逆流
        • 路程=（船速-水速）*时间（逆）
      • 静流
        • 船速
      • 漂浮
        • 水速
• 溶液问题
  • 基础概念
    • 溶质：被溶解的（如，糖盐）①
      • 分子
    • 溶液：可以溶解他们的②
    • 加一起是分母
    • 溶液：混合液（是最后有浓度的）③
      • （①加②）
  • 核心公式
    • 溶质+溶剂=溶液
    • 浓度=溶质/溶液 ； =溶质/（溶质+溶剂）
  • 小技巧
    • 等比例混合，浓度减半
    • 例：60ml浓度10%的盐水，混合60ml浓度20%的盐水，混合后浓度为15%
• 容斥问题
  • 本质
    • 剔除重复
  • 方法
    • 公式法，图示法（或并用）
  • 类型
    • 两集合容斥
      • 标准公式：总个数-都不满足的个数=A+B-AB
    • 三集合容斥
      • 标准公式：总个数-都不满足的个数=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
      • 变形公式：总个数-都不满足的个数=A+B+C-②-2*③（其中②表示只满足两种的个数之和；③表示三者都满足的个数）
• 经济利润
  • 基础概念
    • 原价（标价、定价），售价（收入），进价（成本），利润，利润率
  • 基本公式
    • 利润=售价-成本
    • 利润率=利润/成本=（售价-成本）/成本=售价÷成本-1
    • 注意：没赚代表亏了（成本+利润）的钱
  • 常考题型
    • 基础公式型
      • 方程法、赋值法
    • 分段计费型
      • 找到分段点，分别计算，再加和
    • 统筹优化型
      • 逐个方案排除。列出几种方案比较，找最优（最省钱）
• 等差数列
  • 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常熟，这个数列就见等差数列，这个常数叫公差：d。
  • 通用公式：an=a1+(n-1)×d（n:项数，d：公差）
  • 求和公式：sn=(1/2)(a1+an)×n=中位数×项数（奇数）=平均数×项数偶数
• 趣味模块
  • 植树问题
    • 单边
      • 线型植树
        • 棵数=间隔个数+1=总长÷间隔＋1 ；总长=（棵树-1）×间隔
      • 环形植树
        • 棵数=间隔数=总长÷间隔 ；总长=棵数×间隔
      • 楼间植树
        • 棵数=间隔数-1=总长÷间隔-1 ； 总长=（棵数+1）×间隔
    • 双边线形植树
      • 相应单边植树所需棵数的2倍
  • 星期、日期问题
    • 平年与闰年
      • 平年（不能被4整除）365天
      • 闰年（能被4整除）、世纪年（能被400整除）366天
    • 大、小月
      • 大月31天；小月30天；2月有28天（29天）
    • 口诀
      • 每过1年，星期增加1，跨闰日星期再加一
  • 年龄问题
    • 每过N年，都长N岁
    • 年龄差（大-小）不变
    • （大）÷（小）的倍数随时间推移越来越小
  • 周期问题
    • 概念：事物按照一定的周期重复出现或循环排列
    • 结论：N初一循环周期(T)，余数是k，那么第N个与第k个位置等价(N与k表述一致即可)
• 几何问题
  • 角和
    • n边形的内角和=（n-2）×180° ；外角和=360°
  • 周长
    • 正方形C=4a
    • 长方形C=2（a+b）
    • 圆形C=2πR（半径）
    • 弧长L=R·α（圆心角弧度数）
  • 面积
    • 正方形S=a²
    • 长方形S=ab
    • 平行四边形S=a·h
    • 三角形S▲=（1/2）ah
      • 高相同。面积之比=底之比
      • 底相同，面积之比=高之比
    • 梯形S=（1/2）·(a+b）h
    • 圆形S=πR²
    • 扇形S=（n/360°）πR²
  • 体表面积
    • 正方体=6a²
    • 长方体=2ab+bc+ac
    • 球体=4πR²=πD²（D为直径）
    • 圆柱体表面积=2πRh+2πR²
    • 圆柱体侧面积=2πRh
  • 体积
    • 正方体V=a³
    • 长方体V=abc
    • 球体V=（4/3）πR³=（1/6）πD³
    • 圆柱体V=πR²h
    • 圆锥体V=（1/3）πR²h
    • 锥体=（1/3）Sh
  • 不规则图形
    • 割补平移
• 排列组合&概率
  • 排列·组合的解题方法
    • 1.判断原理
      • 加法原理
        • 分类用加法
        • 例：去上班的路线。徒步2种，地铁3种，公交1种；共6种
      • 乘法原理
        • 分步用乘法
        • 例：把大象装冰箱分三步。第一步有2种方式；第二步1种方式；第三步3种方式。共2*1*3=6种方式
    • 2.判断排列/组合
      • 组合
        • 与顺序无关；Cmn =Cmm-n
        • 例：C53=A53/3！=(5×4×3)/(3×2×1)
      • 排列
        • 与顺序有关；Amn
        • 例：A53=5×4×3
    • 特殊方法
      • 反向解题法
        • 原则：正难则反
        • 应用：正向种类太多，计算麻烦，或无法计算
        • 例：12人选出4人，且甲和乙不能同时出现，几种选法?
      • 捆绑法
        • 特征
          • “必须相邻”“不能分开”“在一起”
        • 解题方法
          • Amm×Ann
          • 1.先捆绑他们，算作整体，与其他进行排列(Amm)
          • 2.计算每个整体内部的排列(Ann)
      • 插空法
        • 特征
          • “必须分开”“不能相邻”“不能在一起”
        • 解题方法
          • 先将其他人排好，再将不相邻个体进行插空
      • 隔板法
        • 特征
          • 相同物品分配
          • 每份至少有一个
        • 解题：将m个橘子分n份，每份至少一个，共有Cm-1n-1 种方法
  • 概率的解题方法
    • 简单概率
      • 方法：概率=满足事件的情况/总共的情况
    • 枚举概率
      • 总的情况需要枚举/满足某条件时需要枚举情况
    • 分步概率
      • 几个步骤发生的概率，再相乘。即这些事件单独发生的概率相乘
    • 分方式概率
      • 计算几个方式发生的概率，最后相加
    • 逆向概率
      • 正难则反：（1-不符合的概率）=所求概率
    • 比赛概率
      • 按照最终或正比分进行分类。
      • 注意：最后一局的胜者就是鼻子塞的最终胜者
      • 例：5局3胜的比赛，最后比分情况:5:4\5:3\5:2\5:1。分别计算每种情况的概率
• 最值问题
  • 最不利结构
    • 特征
      • 至少……保证……
    • 解题方法
      • 1.构造最不利的情况
      • 2.答案=最不利情况+1
  • 数列结构
    • 特征
      • 最……最……/ 排名第……最……
    • 本质
      • 已知多项和，求某一项的最值
    • 解题方法
      • 方程法：构造一个满足题目要求的数列
    • 解题步骤
      • 1.设问题所求为x
      • 2.构造所有数据
      • 3.列方程求解