初中数学第1章数的整除思维导图

数的整除

整数和整除

1.1 整数和整除的意义

整数概念

自然数(natural number)：

零和正整数的统称

整数(integer)：

正整数、零、负整数的统称

整除意义

整数α除以整数b

如果除得的商是整数而余数为零

就说a能被b整除

或者说b能整除a

引出：整除的条件

1.除数、被除数都是整数

2.商是整数而且余数为零

1.2 因数和倍数

概念

整数a能被整数b整除

因数

a就叫做b的倍数(multiple),

倍数（约数）

b就叫做a的因数(factor)

性质

一个整数的因数中

最小的因数是

1

最大的因数是

它本身

1.3 能被2,5整除的数

特征

个位上是0,2,4,6,8的整数

都能被2整除

奇偶性

奇数(odd number)

不能被2整除的整数

个位上只能是13579对吗？

偶数（even number）

能被2整除的整数

个位上是0或者5的整数

都能被5整除

分解素因数

1.4 素数、合数与分解素因数

概念

素数（质数）

只有1和它本身——两个因数的——正整数

合数

除了1和它本身——以外——还有别的因数的——正整数

1既不是素数，也不是合数.

这样，正整数又可以分为三类

1

素数

合数

素因数

每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数

叫做这个合数的素因数

分解素因数

概念

把一个合数用素因数相乘的形式表示

分解素因数的方法

短除法

1.5 公因数与最大公因数

概念

公因数

几个数公有的因数

最大公因数

其中最大的一个

两个数互素

两个整数只有公因数1

方法

一般

几个整数的最大公因数：

把它们所有公有的素因数连乘

积（最大公因数）

可以用短除法

特例

子主题

1.6 倍数与最小公倍数

子主题

六上第1章

分数

分数的意义和性质

分数与除法

子主题

分数的基本性质

子主题

分数的大小比较

子主题

分数的运算

分数的加减法

子主题

分数的乘法

子主题

分数的除法

子主题

分数与小数的互化

子主题

分数、小数的四则混合运算

分数运算的应用

拓展无限循环小数与分数的互化

六上第2章

比和比例

第1节比和比例

比的意义

概念

a、b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将a与b相除，叫做a与b的比,

记作

a：b

或a/b

b≠0：

读作

或a与b的比

a比b

式子中

a——比的前项

b——比的后项

前项a÷后项b所得的——商

叫做比值

作用

利用比的方法，可以知道a是b的几倍（或几分之几)

关系

比、分数、除法三者关系：

比的前项——相当于——分数的分子和除式中的被除数：

比的后项——相当于——分数的分母和除式中的除数；

比值——相当于——分数的分数值和除式中的商

单位

求两个同类量的比值时

如果单位不同

必须

把这两个量化成相同的单位

比的基本性质

两项比

比的前项和后项——同时乘以或除以相同的数(0除外)——比值不变

三项连比

1.如果a:b=m:n,b:c=n:k

那么a:b:c=m:n:k.

2.如果k≠0那么a:b:c=ak:bk:ck

比例

概念

a,b,c,d四个量中，如果a:b=c:d,那么就说a,b,c,d成比例,也就是表示两个比相等的式子叫做比例.

a,b,c,d分别叫做——第一、二、三、四比例项

第一比例项a和第四比例项d叫做——比例外项

第二比例项b和第三比例项c叫做——比例内项

如果两个比例内项相同，即a:b=b:c,那么把b叫做a和c的——比例中项

基本性质

第2节百分比

3.4 百分比的意义

子主题

3.5 百分比的应用

子主题

六上第3章

有理数

意义

概念

整数和分数统称——有理数

分类

有理数

整数

正整数

零

自然数

负整数

分数

正分数

负分数

数轴

概念

规定了

原点

正方向

单位长度

的直线

作用

任何一个有理数——都可以用数轴上的一个点——表示

相反数

概念

只有符号不同的两个数

（其中一个数是另一个数的相反数）

（也称这两个数互为相反数）

零的相反数是零

绝对值

概念

一个数在数轴上所对应的点与原点的——距离

概括

正数的绝对值

是本身

负数的绝对值

是相反数

零的绝对值

是零

绝对值大小比较

一个数所表示的点

与原点的距离越远

绝对值越大

与原点的距离越近

绝对值越小

两个负数

绝对值大的那个数

反而小

运算

加减法

加法

法则

同号两数——相加

取原来的符号

并把绝对值相加

异号两数——相加

绝对值相等时

和

为零

绝对值不相等时

和

符号

取绝对值较大的加数的符号

绝对值

为较大的绝对值减去较小的绝对值

所得的差

一个数与零——相加

仍得这个数

运算律

交换律

a+b=b+a.

结合律

(a+b)+c=a+(b+c)

减法

法则

减去一个数——等于加上这个数的相反数

a-b=a+(-b)

乘除法

乘法

一般的乘法

法则

乘法法则

两数相乘

同号得正，异号得负

并把绝对值相乘

任何数与零相乘

都得零

多数相乘

积的符号由负因数的个数决定

负因数有奇数个

积的符号为负

负因数有偶数个

积的符号为正

有因数为零

积为零

运算律

乘法交换律

ab=ba.

乘法结合律

(ab)c=a(bc)

乘法对加法的分配律

a（b+c)=ab+ac.

乘方

概念

求n个相同因数的——积的运算

规律

正数

任何次幂

都是正数

负数

奇次幂

是负数

偶次幂

是正数

除法

法则

两数相除

同号得正，异号得负

并把绝对值相除

零除以任何一个不为零的数

得零

规律

甲数除以乙数（零除外）

等于

甲数乘以乙数的倒数

混合运算

顺序

同级运算

从左到右

不同级运算

先乘方

后乘除

再加减

如果有括号

先算小括号

后算中括号

再算大括号

去括号方法

括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号

-(a+b)=-a-b,-(a-b)=-+b.

科学计数法

概念

把一个数写成

1≤a<10

n是正整数

这种形式的记数方法叫做科学记数法（n为0和负整数以后学）

六下第5章

一次方程和一次不等式

方程与方程的解

列方程

方程的概念

含有未知数的等式

（等式方程）

方程的解

概念

如果未知数所取的某个值能使——方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值

叫做方程的解

六下第6章

一元一次方程

一元一次方程及其解法

概念

一元一次方程的概念

只含有一个未知数

且未知数的次数是一次

的方程叫做一元一次方程

解方程概念

求方程的解的过程叫做解方程

解法

思路

运用等式性质

等式性质1

等式两边

同时加上（或减去）

同一个数

或同一个含有字母的式子

结果仍是等式

等式性质2

等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数)，所得结果仍是等式.

和运算性质

求方程的解

步骤

1.去分母；

2.去括号；

3.移项；

4.化成ax=b(a≠0)的形式；

5.两边同除以未知数的系数，得到方程的解x=b/a

一元一次方程的应用

列方程解应用题的一般步骤

1.设未知数（元）

2.列方程

3.解方程

4.检验并作答

方程的思想方法

已知量与未知量之间存在着一种等量关系

把这种等量关系式写出来

得到方程

求出方程的解

一元一次不等式

不等式及其性质

不等式概念

用不等号（“>”“<”“≤”或“≥”）表示的

关系式

不等式性质

不等式性质1

不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变

如果a>b,那么a+m>b+m;

如果a<b,那么a+m<b+m.

不等式性质2

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

如果a>b,日m>0,那么am≥bm或a/m≥b/m

如果a<b,且m>0,那么am<bm或a/m≥b/m

不等式性质3

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

如果a>b,且m<0,那么am<bm或a/m<b/m

如果a<b,且m<0,那么am>bm或a/m>b/m

不等式性质4

同乘以0，会如何？

一元一次不等式解法

概念

不等式的解：

在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值

不等式的解集：

不等式的解的全体

解不等式：

求不等式的解集的过程

一元一次不等式：

只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式

解一元一次不等式的一般步骤

1.去分母

2.去括号

3.移项

4.化成ax>b(或ax<b等)的形式（其中a≠0）

5.两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集

与解一元一次方程类似

一元一次不等式组

概念

一元一次不等式组：

由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组

不等式组的解集：

不等式组中所有不等式的解集的公共部分

解不等式组：

求不等式组的解集的过程

解一元一次不等式组的一般步骤：

1.求出不等式组中各个不等式的解集

2.在数轴上表示各个不等式的解集

3.确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集

口诀

同大取大

同小取小

大小小大中间找

大大小小找不到

一次方程组

二元一次方程

概念

二元一次方程：

含有两个未知数的一次方程

二元一次方程的解：

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值

二元一次方程的解集：

二元一次方程的解的全体（二元一次方程的解有无数个）

二元一次方程组及其解法

概念

二元一次方程组：

方程组中

含有两个未知数

且含未知数的项的次数都是一次

二元一次方程组的解：

二元一次方程组中，使每个方程都适合的解

解法

代入消元法:

通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程（简称代入法）

加减消元法：

通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程

三元一次方程组及其解法

概念

三元一次方程组：

方程组中

含有三个未知数

且含有未知数的项的次数都是一次

解法

一次方程组的应用

思路

列方程解应用题时要灵活选择未知数的个数

含有两个未知数的应用题

一般采用列二元一次方程组求解

含有三个未知数的应用题

一般采用列三元一次方程组求解

整式

整式概念

字母表示数

代数

代数式

用运算符号和括号

把数或字母（表示数的）

连接而成的

式子

代数式的值

用数值代替代数式里的字母

按照代数式中的运算关系

得出的结果

整式

单项式

定义

由数与字母的积或字母与字母的积所

组成的代数式

叫做单项式

单项式的系数

单项式中的数字因数

单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数的和

多项式

定义

几个单项式的和

组成的

代数式

多项式的项

每个单项式

常数项

不含字母的项

多项式的次数

次数最高项的次数

单项式、多项式统称为整式

整式运算

加减法

合并同类项