导图社区 微积分
关于高等数学微积分思维导图，包含函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分等内容。
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第14章DNA的生物合成读书笔记
微积分
第一章 函数与极限
一 映射与函数
函数的定义
函数的类型
基本初等函数
反函数
存在反函数的条件？
反三角函数
定义域
自变量和因变量的含义
图像
求导？
指对幂三角…
显函数
隐函数
参数方程
极坐标方程
取整函数
Max Min函数
符号函数
复合函数
分段函数
函数的性质
单调性
奇偶性
有界性
有定义一定有界吗
定义一
定义二
互相等价怎么推导？
二 数列的极限
数列的极限的定义（收敛）
单调有界数列收敛准则 单调有界数列必有极限
增
减
一个重要极限
推广
是求极限常常构造的模型哦
收敛数列的一些性质
夹逼原理
我常常忽略的求极限好方法！
有界量乘无穷小？
数列收敛与奇偶子数列收敛
极限的唯一性
收敛数列的有界性
极限的四则运算
使用的条件！
三 函数的极限
定义（与数列极限类似）
极限存在的充要条件
X0处极限存在与什么有关？
求极限的方法
拆项法
有理化
利用重要极限构造
分式+指数幂形式 ：抓高次项大头
洛必达法则
泰勒公式
和差化积 积化和差
等价无穷小
数列极限
思想：化无限为有限
放缩
Stolz定理
定积分中的一个重要公式
其他变形技巧
函数极限与数列极限的关系
包含关系
四 无穷大与无穷小及无穷小的比较
无穷小的定义
无穷小的性质
有限项无穷小的和差积仍然为无穷小
无穷小的比较
高阶
低阶
同阶
等价
等价无穷小求极限
重要公式
使用条件
有时要考虑向右趋于0和向左趋于0的差别！
被代换的部分为整个分式的因子
相关定理
高阶+低阶～低阶
同阶定理
加减运算后系数不能为零
主部的概念
五 函数的连续性
基本知识
定义：函数在x0处极限等于x0处函数值
左右连续
在某点连续的充要条件？
几何意义
基本初等函数在定义域内都连续
连续函数的加减乘除、复合 仍连续
函数的间断点
第一类间断点 左右极限都存在
可去
跳跃
第二类间断点 左右极限至少有一个不存在
特别：第二类无穷间断点
连续函数在闭区间上的性质
在开区间连续？在闭区间连续？
最值定理
零点定理
连续函数的介值定理
第二章 导数与微分
一 导数的概念
定义
用导数定义求导数
左右导数
分类讨论！
导数存在的充要条件？
切线
法线
开区间可导、闭区间可导
可导与连续的关系
符号表示
二 函数的四则运算求导法则
三 复合函数求导法则
普通复合函数
指数型
对数求导法：左右同时取对数，化指数形式为乘积形式
注意对y求导时自变量为x！
对乘除形式使用对数求导法，可以变乘除为加减
四 隐函数求导
等号两边同时对x取导数，再将y‘移项至等号一边
五 反函数求导
一阶导
二阶导
六 参数方程求导
转变求导对象
极坐标方程求导
相当于参数方程中的参数为
七 微分
微分的定义
可微与可导互为充要条件
微分的计算
如何求微分
利用微分求近似值
八 高阶导数
几个公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
一 微分中值定理
费马引理：连续可导点导数为零
罗尔定理：
拉格朗日中值定理：
柯西中值定理：
推论：
二 洛必达法则
分子分母极限存在
去心领域可导
三 单调性
四 极值
极值点的位置
可导极值点（驻点）
不可导点
判断极值点的方法
第一充分条件
左右领域单调性
第二充分条件
二阶导数正负
要注意二阶导数为0的情况！单独讨论
判断最值点的方法
考虑极值点和端点
五 泰勒公式
一些常见导数在x=0处的展开
求极限？判断展开至第几项
六 函数的凹凸性
凹凸性的几何含义
凹凸性的判断
函数的拐点
拐点的定义 ：（Xo,f(Xo))
Xo 处连续
左右领域凹凸性相反
拐点的性质
若拐点处二阶导存在，则二阶导为0
二阶导也可能不存在
七 求渐近线
铅直渐近线
Xo为函数间断点
水平渐近线
斜渐近线
第四章 不定积分
一 概念
求不定积分与求导为互逆过程
f(x)的全部原函数
C表示任意常数
二 不定积分的计算
24个常用积分表
分项（拆项）法
三角函数
第一类换元法（凑微分法）
当分母为类似形式可以适当变形配凑
第二类换元法（两换）
分部积分法
三 有理函数不定积分
假分式转化为真分式 拆项或带余除法
真分式进一步拆项：
第五章 定积分
一 定积分的定义
推导：极限思想
求极限的一个重要公式
注：使用方法三个步骤
定积分的几何意义
几何图形面积
注意正负之分！
二 定积分的性质
线性
可加性
反向性
定积分与积分变量无关
不等关系
不等号两边可以同时定积分
注：等号两边可以同时不定积分，不等号两边不可以同时不定积分
不定积分和区间内最大最小值的关系
积分中值定理
三 牛顿-莱布尼茨公式
变限积分
变上限
变下限
莱布尼茨定理
牛顿-莱布尼茨公式
四 定积分的计算
常规做法
先求不定积分，再做减法运算
定积分换元法
对称区间函数
周期性
定积分的分部积分法
与正余弦有关的一个定积分公式
