中值定理思维导图

这是一篇高等数学中值定理部分知识的思维导图，知识全面详细，内容详实，干货满满，现在不收藏，还在等什么呢。

第六讲

• 函数定理
  • • 有界与最值定理
    • 介值定理
    • 平均值定理（离散的平局值定理）
      • 证明：
        • 先试用最值定理得到最下面式子，在使用介值定理使式子等于f(x)
      • 使用
        • 看到函数值相加，就要想到除以函数值个数，也小于最大值大于最小值，然后能找到两个点相等，就能用罗尔定理
    • 平均值定理（连续的）
      • 积分中值定理
    • 零点定理（介值定理推论）
      • 与导数零点定理对比记忆
      • 推广
        • ab不一定是两个值，也可以是定义域边界的极限
• 积分
  • 积分中值定理（连续的平均值定理）
    • • 证明
        • 对f(x)求积分后，介值定理
    • 对比理解
      • 函数平均值
    • 推导
      • • 能在开区间取，就一定能在闭区间区，所以用介值定理的证明没必要
      • 开区间成立，则闭区间一定成立
      • 两者区别：值取闭区间的是用介值定理推的，可以取端点，开区间使用拉格朗日中值定理，没有去端点（两者都可以直接使用）
        • 开区间推导
          • 构造函数，然后函数值减带入拉格朗日中值定理，
  • 子主题
• 导数定理
  • 费马定理 （可导+极值=导数为零）（要求：定理+证明）
    • • 证明（背下来，思路很重要）
        • • 证明：首先根据x0为极值点，和保号性，所以左右f(x)都小于f（x0）.所以f(x)-f(x0)<0; 之后因为有极大值左右领域都存在，所以从两边趋近于x0，得到了分母的正负性，所以f'(x+)大于等于0，f'(x0-)小于等于0，所以f'(x0)等于0
        • 书上的证明
    • 使用
      • 证明导数等于0
        • 罗尔定理
          • 构造辅助函数，证明两点相等，存在一个导数为0的点
        • 费马定理
          • 证明闭区间内有一点函数值大于两个端点，应为闭区间连续函数一定有极值；所以有一点导数值等于0
          • 证明闭区间端点在左右领域内为最小值，
        • 拉格朗日
    • 生活中的应用
      • 一个人跑到最远处、它的速度为零，一个人跑的最快时，它的加速度为零
  • 导数零点定理
    • 证明
      • • 解题思路
          • 因为闭区间连续函数一定有最大值：之后证明两个端点都是领域内最小值，所以最大值一定取在区间内部（a，b）
        • 保号性
    • 只要区间存在导数异号，不论导函数是否连续，一定存在某点使导数为0
    • 推论：只要区间内没有点使导函数为零，则那么导函数一定恒正或恒负（证明反函数存在时候讲的）
      • 证明：反证法，用上面题导数零点定理反正，发现只要有异号，一定存在一点使导函数等于0
      • 在区间内函数单调（恒正或恒负）则一定有反函数存在
    • 与零点定理区别
      • 零点定理要求函数连续，导数零点定理不要求连续
  • 罗尔定理（两个端点函数值相等，有一点导数为零）（考频高）
    • • 推广
    • 使用
      • 证明导数为0
      • 1、构造辅助函数（背）
        • • 注里面的会多个ex，但要证明的是等于零，而ex是不会等于零的，所以不参与讨论，所以没有问题
      • 2、寻找函数值相等的两个点
        • 定积分构造函数为变限积分
          • 1、与下限相等的点。2、题目中给的式子的上限
      • 例题
        • 标准考法
        • 证明二阶导等于0（使用两次罗尔定理）
        • 非常重要
          • 第一题
            • 解法一（构造函数）
            • 解法二：一开始没直接用积分中值定理是因为积分中值定理是针对闭区间，而题目中是开区间，之后对开区间积分中值定理进行了证明，之后就可以使用了，证明方法见积分中值定理部分
          • 第二题：要证明二阶导等于零，就要找两个一阶导相等的点－－－－就要找两对函数值相的点，在第一题中已经找到了一对
  • 拉格朗日中值定理（基本无条件成立）
    • 用法
      • 1、见到函数差值f-f
      • 2、见到f与f'
      • 3、见到f(x)=g'(x)，，构造函数F(x)=g(x)要找到俩值：一个令F(x)≠0,一个F(x)=0,两个相减在用拉格朗日就能得到g'(x)
    • 例题
      • 让证明存在两个不同积分：一定不能再同一个区间内，因为积分那个数实在区间内随便取得
        • • 推测出来的结果，只要证明有一点存在就可以
        • 考研中题目出法
  • 柯西中值定理
    • • g（x）在有些题目中不会给你不等于0的条件，有的时候需要证明（反证法）多一些
    • 柯西中值定理不是用两个中值定理比出来的，因为导数的那个值是再区间范围上随便取得，不一定会相等
    • 拉格朗日中值定理是柯西的特例（当g(x)=x时）
    • 例题
  • 拉格朗日、柯西、罗尔之间的关系
    • 在柯西中令g(x)=x得到了拉格朗日
      • 拉格朗日中令f(a)=f(b)得到了罗尔定理
  • 泰勒公式
    • • 带拉格朗日余项的
        • 对于区间来说：（条件中领域内倒数存在）
      • 带佩亚诺余项的
        • 对于点来说（条件中在点x处n阶可导）
          • 一定要在极限中使用
      • 麦克劳林公式：两个中的x0为0的时候
      • 例题
        • • 无穷小很小，相当于直接忽略
        • • 如何去除掉多余的f'(x)
            • 1、题目中直接说f'（x）=0
            • 2、求导后奇偶性互换，告诉你原函数为偶函数
            • 3、对两边积分
      • 技巧
        • • 这样的积分一定等于0
        • 看到闭区间连续，先想到最值定理
          • • 看到时一阶导和函数的关系，先想到拉格朗日中值定理，而且他给了f(0)=0
            • 还没考
              • • 介值定理
              • 最值定理：因为题目中说一切导数在闭区间连续：所以由最大最小值
        • 闭区间，最值不在端点取：闭区间存在极值
        • 一阶导在闭区间连续：有最大最小值：最值定理
        • 看到分母a+b,分子为导数，可能是拉格朗日之后下面为a2+b2化简的
  • 导数介值定理： 只要导函数存在，任意两个导数值取得到，则它的中间任意点都取得到
    • 导函数存在，导函数一定不存在跳跃间断点和可去间断点、无穷间断点，有可能有震荡间断点
    • 函数要连续才能取到所有值，但是导数只要存在，两点间的都存在
  • 例题
    • 见到定积分
      • • 1、积分中值定理
        • 2、构建辅助函数（将上限改为x），F（a）=0；且如果积分等于零，那么构造函数中F（b）=0，就找到了一点函数值