函数思维导图

本图是有关函数的思维导图，包含了函数、四性质、指对函数、零点问题等内容，内容详实，结构清晰，逻辑严密，非常值得学习。

函数

• 三要素
  • 求定义域
    • 具体函数
      • 二次函数不等式
      • 分式不等式
      • 绝对值不等式
        • ｜2x+1｜≤x
        • ｜2x-1｜≤｜x-1｜
        • ｜x+1｜+｜x-2｜≤5
      • 对数不等式
      • 高次不等式
    • 抽象函数
      • f(x)括号内的自变量定义域相同
    • 已知定义域求参
      • 分类讨论取并集
  • 求解析式
    • 指名道姓：待定系数
    • 未知函数：换元 写出新元的范围
    • 配凑
    • 出现奇偶函数：方程组法
      • f(x),g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=eˣ，求比较g（0),f(2),f(3)
      • f(x)相加/相乘为定值，把x换成1-x
        • 根据题意替换
    • 求谁设谁
    • 利用对称
  • 求值域
    • 一次/一次
      • 分离常数
      • 反解法
      • 瞪眼法
    • 二次函数
      • 换元为二次函数
    • 二次/一次 二次/二次 一次/二次
      • 对号函数
      • 双刀函数
    • 双绝对值求最值
      • X系数相同：平底锅
      • 系数不同：破锅
        • 系数大的式子为0时对应f（x）min
    • 取大/小函数 max{f(x),g(x)}
    • 三角换元
      • 平方相加为常数 x²+y²=1
• 四性质
  • 单调性
    • 常见含参函数单调性
      • 一次/一次：分离常数
        • mx+2/x-m
      • 分类讨论
        • ax²+(2a+4)-a²+3
    • 分段函数单调性:先分析条件，不用急着讨论
    • 抽象函数单调性
      • 到对称轴的距离
        • f（a-1）+f（2a²）≤0
    • 复合函数单调性及值域
      • 求参数范围
        • f(x)≥a
          • f(x)min≥a
            • f（x）min无论是否能取到a都能取等
        • f（x）＞a
          • f（x）能取到
            • a能取=
          • f(x)取不到
            • a不能取=
        • • 代端点值→讨论→根的分布
    • 运算变换
      • 到对称轴的距离
      • f（x）在任意x∈（1，2）均有f(x)≤a，则带入两个端点值
  • 奇偶性
    • 奇偶性的性质
      • 加减乘除运算呗
    • 奇偶性的判定
      • 具体函数
        • 常见奇函数
          • y=kx
          • k/x
          • x³ x⁻³
          • 对号函数 ax+b/x 双刀函数Ax-b/x
          • sinωx tanωx
          • aˣ-a⁻ˣ
            • eˣ-e⁻ˣ
          • eˣ+e⁻ˣ/eˣ-e⁻ˣ
            • e²ˣ+1/e²ˣ-1
              • eˣ+1/eˣ-1
          • eˣ-e⁻ˣ/eˣ+e⁻ˣ
          • f（x）为奇，则f(ax)为奇
          • lg（1-x/1+x）
            • lg2-x/2+x
              • lg2+x/2-x
          • lg（√(x²+1)+x）
        • 常见偶函数
          • y=常数
          • y=ax²+ b
          • y=｜x｜
          • y=eˣ+e⁻ˣ
          • cosωx
          • f(｜x｜）
      • 抽象函数
        • f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1
    • 已知奇偶性求参
      • 常见奇偶函数熟练掌握后直接能看出来
    • 奇常函数
      • f(x)+a对称中心(0,a)
        • f(b)+f(-b)=2a
        • f(x)max+f(x)min=2a
          • • 蒙：定义域对称，则对称中心（1，2）
            • 原式=[（x-1)²-1]sin(x-1)+(x-1)+2,→奇函数向左平移还原而得原函数f(x)=(x-1)²sinx+x （0，0）→（1，2）
          • • f（x）=a+bx（2+cosx）+3sinx/2+cosx =a+ bx+3sinx/2+cosx ∴2a=6,a=3.b=0
  • 对称性
    • 对称轴
      • 两端x相反，f相同
        • f(x)=f( -x) 偶函数 x=0
        • f(x+a)f(a -x)
          • x=a
        • f(x+a)=f(b -x)
          • X=b+a/2
      • 求对称轴：两端括号内相加除以二
    • 对称中心
      • x相反，y相反
        • f(x)=-f(-x) （0，0）
        • f(a -x)=-f(x+a)
          • （a,0）
        • f(a-x)=f(x+b)
          • (a+b/2,0)
        • f(a-x)=f(x+b)+c
          • （a+b/2 , c/2）
  • 周期性
    • 两端x相同，不管f
      • f(x+a)=f( x)
        • T=a
      • f（x+2）=f（x-1）
        • T=3
      • f(x+a)=-f(x) f(x+a)=-f(x)+k
        • T=2a
      • f(x+a)=k/f(x)
        • T=2a
      • 模考：
      • f(x+2a)=f(x+a)+f(x)
        • T=6a
    • 求周期：迭代
• 指对函数
  • 指对函数的运算
    • 比较大小
      • 化同底
      • 数的范围（二分法）
      • 结合图像
        • 指数函数
        • 对数函数
          • ㏒
        • 幂函数
    • 等高线 ab=1
    • 指对函数互为反函数
      • 求一个函数的反函数
        • 反解x 指对互换
      • 指数型函数，凑出反函数
        • • 2ˣ¹=5-2x₁,log₂（ x₂-1)=5-2x₂
• 零点问题
  • 零点所在区间
    • 证明（a,b）上只有一个零点：单调性+端点值异号
  • 零点的个数
    • 判断个数
      • 转化成图像的交点
        • 曲线和曲线相交
          • 试数，代点，是不是公切线
          • 无法判断：求两个曲线在x=0处的切线
          • 化曲为直
            • x≠0,加绝对值消元
        • 直线和曲线相交
          • 临界值一般在切线时
          • 试数
          • y=m(x+1)
            • 过（-1，0）旋转的一条直线
        • 翻译题目：“f（x），g（x）的图像存在关于y轴的对称点 →把g(x)翻折后与f（x）有交点
    • 重在画图，实心空心的点画准确
    • 已知零点个数求参
    • 复合函数的零点
      • 换元
• 看到一个函数一般先判断单调性奇偶性，再画大致图像
• 学会翻译题目，读出题目中的隐藏条件
• 不管什么时候，含参要分类讨论，讨论就会有思路