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理论力学-静力学思维导图
这是一篇关于静力学-翻译版第12版-希伯勒的思维导图。记录几乎所有知识点以及个人思考，贴近工程实际，具有一定参考意义。
编辑于2021-07-07 16:41:01- 静力学
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理论力学
静力学
基本概念
基本量
国际单位制 SI
长度
m
时间
s
质量
kg
力
美国单位制 FPS
长度
英尺 feet / ft = 0.3048m
时间
s
质量
斯拉格 slug/sl=14.59kg
力
磅力 1b =4.448N
单位制换算
理想模型
质点
1.质点是有质量无大小的点
2.若物体几何属性可以忽略，则简化为质点
刚体
1.载荷作用前后，内部质点间的距离保持不变
2.在研究力的作用效应时，可以不考虑该物体的材料特性，则可简化为刚体
3.在工程中，几乎所有的零件和结构都会发生变形，若这些变形较小（满足工程精度要求），则可简化为刚体；
集中力
1.集中力是指作用在一点上的载荷
2.如果载荷的作用面积相对于物体整体表面积较小，则可以简化为集中力。如车轮和地面的接触
牛顿运动定律
第一定律
∑F=0，则保持原有运动状态
第二定律
F=ma
第三定律
作用力与反作用力
需要熟练牢记
万有引力定律
重力
1.当质点位于地球表面附近时，仅是地球与质点间的引力具有较大量级，近似将重力视作唯一的万有引力。
2.以维度45°海平面上的重力加速度测量值作为标准值，g=9.81
计算
量纲一致
计算精度
数值为“1”开头，则保留四位有效数字；
数值开头大于1，则保留三位有效数字
计算过程中的数据要保持计算精度，用分式、代号等代替近似数，只在最后结果四舍五入。
标量与矢量
标量
指仅用一个实数来表示的物理量
平面矢量
指包含大小和方向的物理量
矢量表示
印刷体：A
手写体：
矢量运算
矢量与标量相乘与相除
矢量合成
三角形法
平行四边形法
矢量大小
余弦定理：
矢量方向
正弦定理：
笛卡尔矢量
右手坐标系
矢量表示
矢量大小
矢量合成
矢量方向余弦
矢量相加
单位矢量
点积
叉积
求力矩
混合积
求力对轴之矩
矢量投影
沿直线方向的力矢量
平衡分析
力系的简化
力对点之矩
标量形式
力矩
合力矩
正负规定：依据右手定则，逆时针方向为正，顺时针为负；
矢量形式
力的可传递性
力F沿作用线任意平移，都不会改变对O点的力矩，力F可以认为是一个滑移矢量
矢径
从O点出发，指向力F作用线上的任意一点。
灵活运用
力矩
叉积不遵从交换律
力矩大小
合力矩
力矩方向：由右手定则判定
合力矩定理
一个力对任意一点的力矩等于所有分力对该点力矩的矢量合
力对轴之矩
标量分析
矢量分析
r：从a轴任意一点到力F作用线上任意一点； 可以看作是力F对O点的矩，在a轴上分量；
力偶矩
力偶
作用在物体上，大小相等、方向相反、不共线的两个力组成的力系统；
力偶矩
由力偶产生的力矩
1.力偶只产生转动效应； 2.力偶矩是自由矢量，力偶矩的矩心可以是任意位置；
等效力偶
若两个力偶矩的大小相等，方向相同，则这两个力偶等效
合力偶矩
力系简化
等效力系（使物体产生相同的外效应）
增减平衡力系
力沿作用线滑移
力沿任意方向滑移，并附加一个等效力偶；
任意力系向一点简化
此为六个标量方程
力系的最简结果
汇交力系
等效力作用点在O点
共面力系
1.合力与力分量共面、合力偶垂直与力平面 2.平移合力F作用线的位置，力臂d为平移距离
平行力系
1.合力与各分量平行，合力偶与力偶分量共面 2.平移合力F作用线的位置，力臂d为平移距离
合力偶与合力垂直
简单分布载荷的简化
载荷强度 Pa
沿单轴均匀的分布载荷
载荷强度
简化为共面分布载荷
载荷强度
合力大小
合力偶大小
合力作用的位置
合力的作用线通过分布载荷曲线与x轴的形心。
共面分布载荷可以看做一个共面力系，可以最终简化为一个合力
质点平衡
共面力系
等同为两个方程，求解两个未知数
空间共点力系
等同为三个方程，求解三个未知数
刚体的平衡
理想模型
刚体假设
应用平衡方程处理实际问题时，通常将所研究的物体视作刚体；
实际上，任何物体受载后都会发生变形，若变形相对于整体尺寸较小，则忽略变形视作刚体分析，一般不会带来明显误差。
引入刚体假设后，研究对象在受载前后，力的方向和力臂不会发生大的变化，这样大大降低求解的难度。
内力
内力总是成对出现，相互抵消，不产生外效应，所以受力分析不考虑内力影响。
重力和重心
物体内部每个微粒都受重力，构成一个通过物体重心的合力。合力为整体的重力。
提出接近实际的分析模型
1.认真确定约束类型、材料性能、物体尺寸。
2.在复杂的实例中，可能需要设计几个不同的模型，具体选择哪个理想模型及需要技巧还需要经验。
3. 螺栓连接、焊接接头：若可允许加载引起的微小转动，则将链接处视为铰接约束。
4.若链接处允许水平移动，则视为滚动支撑。
5.若梁重量与外部载荷相比很小，则通常会忽略自重。
6. 液压缸通常会简化成二力杆。
理想模型都是通过适当假设，从工程实际中简化而来。
约束
平面约束
绳子
一个未知量，约束力为拉力，方向沿绳子拉伸方向。
二力构件（不计重力）
一个未知量，约束力沿铰链的连线，指向不定，通常假设链杆受拉为正。
滚动支座、光滑接触面
一个未知量，约束力垂直与接触面
光滑槽内的滚动支座或铰链
一个未知量，约束力垂直与槽接触面
铰接套筒
一个未知量，约束力垂直与杆件
光滑铰接
两个未知量，方向未知、大小未知，通常正交分解求解
三通接头
两个未知量，约束力为垂直与杆的力和力偶
固定端
三个未知量，力、力方向、力偶未知，通常正交分解
平面约束图示
子主题 1
子主题 2
空间约束
绳子
一个未知量，约束力为拉力，方向沿绳子拉伸方向。
光滑表面约束、滚动支撑
一个未知量，约束力作用于接触点处，方向垂直与接触面
球形铰接
三个个未知量，约束力通常正交分解成三个分力
单个向心轴承
四个未知量，约束力为两个力、两个力偶，且方向均与轴线垂直。若物体还在其他部位被支撑，通常不用考虑约束力偶。
单个方轴滑动轴承
五个未知量，约束力为两个力及三个力偶，若物体还在其他部位被支撑，通常不用考虑约束力偶。
单向推力轴承
五个未知量，约束力为三个力和两个力偶，如果物体还在其他部位被支撑，通常不用考虑约束力偶。
单个光滑铰接
五个未知量，约束力为三个力和两个力偶，如果物体还在其他部位被支撑，通常不用考虑约束力偶。
单个合页
五个未知量，约束力为三个力和两个力偶，如果物体还在其他部位被支撑，通常不用考虑约束力偶。
当与其它的轴承、铰链、合页共同支撑构件，且各约束的作用位置共线，则这些约束的约束力仅为力，也就是说，约束力偶是冗余的。
固定端
六个位置量，约束力为三个力和三个力偶。
平衡方程
平面力系
方程1
方程2
AB不与Y轴平行
方程3
A、B、C三点不共线
空间力系
六个方程，解六个未知数
1.为便于计算，坐标轴与O点选择要注意； 2.O点要选择在两个未知力的交汇处，这样未知 力的力矩为零； 3.坐标轴尽可能平行于外力和外力偶矩，便于力的分解 4.如果力和力偶沿三个做标注分量容易确定，就用六个代数形式的平衡方程，否则用矢量平衡方程。 5.计算合力和合力偶时，可以分别选择不同的坐标轴计算，(合力或合力偶计算，必须在同一坐标轴下计算）。
二力构件与三力构件
二力构件
仅受两个力的构件，若平衡则两个力必然共线、大小相等、方向相反。
三力构件
仅受三个力的构件，若平衡则三个力构成平面汇交力系或平面平行力系
受力分析时，先找出二力构件和三力构件，这样分析会大大简化。
约束与静定问题
多余约束（超静定问题）
未知力数目多余平衡方程数目
必须考虑约束处的变形条件，增加补充方程，才能求解。
补充方程与材料的物理性质密切相关
不完全约束
平衡方程数与未知量数目相等，但仍然不能使物体在任何载荷下都保持平衡，只有在某些特殊载荷下才能稳定
平面情况：约束力汇交与一点，造成
空间情况
所以约束力作用线汇交与同一轴a，造成
所有约束力相互平行，造成失稳。
未知量数目，少于受力方程数目，这时物体受部分约束，物体不能保持平衡。
1.所有约束力汇交与同一点； 2.所有约束力作用线共线； 3.所有约束力作用线平行； 4.此时构件处于不完全约束状态，工程设计要避免；
结构平衡
基本假设（桁架）
1.所有载荷（外力和约束力）都作用在节点上
由于作用在桁架上的力比桁架中杆的重力大的多，所以常常忽略杆的自重
若杆的自重必须考虑时，将重力看做铅锤力，并平均分配在两个节点上。
对于桥梁，桥面上的载荷先传递到纵梁，再传到横梁，最后传递到两侧支撑桁架上的节点。
2.假设杆的轴线汇交与同一点，节点抽象为光滑铰接，
通常杆端部通过螺栓或焊接在同一个平板上（节点板）
1.基于这个假设，桁架中每根杆视作二力杆。 2.分析杆受拉还是受压非常重要，通常受压杆要粗。
简单桁架
平面简单桁架
如果一个桁架由基本的三角形桁架扩展得到，那么该桁架为简单桁架。
空间简单桁架
通过简单四面体，以每次增加三根杆而增加一个节点的方式组成
桁架平衡求解
节点法（求解所有杆的内力）
1.当桁架平衡时，每个节点都平衡； 2.从至少含有一个已知力的节点开始计算 3.很多情况下，杆的内力方向可以直观判断 4.通常假设作用在节点上的未知杆的内力为拉力
零力杆
平面桁架
若节点处只有两根不共线的杆，且节点处没有外载荷和约束力，则这两根杆为零力杆
一般来说，若桁架节点处链接三根杆，其中连根杆共线，节点处没有外载荷或约束力，则第三根杆为零力杆。
空间桁架
？
？
分析桁架时，先确定零力杆可以简化计算。
截面法（求解少量杆的内力）
1.当桁架平衡时，桁架中的每个部分都处于平衡状态。 2.通过选择合适的截面和坐标轴，可以达到一个方程求解一个未知数的效果。 3.选择的截面所涉及的杆一般不超过方程数量。
摩擦 Friction
摩擦力
阻碍两接触物体相对运动或运动趋势的力；
摩擦力总是作用在接触点，沿着接触面的切向，与相对运动或相对运动趋势相反。
干摩擦（库伦摩擦） Dry friction
在接触面没有润滑流体的摩擦；
干摩擦理论
1.物块上的法相约束力和摩擦力都是不均匀的分布载荷；
2.从微观上看，接触面并不平整，所以每一个接触点都产生反作用力，而每个反作用力都包含一个摩擦力分量和一个法相约束分量。
1.此为经典理论，详细分析还要考虑温度、密度、清洁度以及两接触面间原子或分子的相互作用。
平衡
法向力的作用线和重力作用线不一定共线，用来平衡推力的“倾翻效应”
当不需要考虑物体的倾翻时，法向约束合力的位置并不重要，对物体的受力分析可以不考虑力矩方程。
最大静摩擦力
与法向约束力成正比
静摩擦因数
在应用过程中选择摩擦因数时，必须仔细考虑接触面的粗糙度和洁净度等，若要求相对精确值，可以直接用这两种实验材料进行实验确定摩擦系数。
静摩擦角
法向力和摩擦力的合力与法向力的夹角。
滑动摩擦力
在运动过程中，持续剪断两物体接触点之间的结合就是产生动摩擦的主要机理。
与法向约束力成正比
动摩擦因数
比静摩擦因数小25%
动摩擦角
法向力和摩擦力的合力与法向力的夹角。
摩擦力函数
保持平衡时，摩擦力等于推动力；
临界状态时，摩擦力为最大静摩擦力
运动时，摩擦力为动摩擦力
如果作用力很大或速度很大时，由于空气动力的作用，会导致动摩擦系数的减小。
干摩擦的特性
摩擦力与接触面相切，与相对运动或相对运动趋势方向相反；
只要最大正压力没有大到使接触面产生严重变形，最大静摩擦力与接触面积无关；
对任何表面，最大静摩擦力通常都大于动摩擦力，然而如果一个物体以极慢的速度在另一个物体表面移动时，滑动摩擦力会近似等于最大静摩擦力。
当接触面即将发生滑动时，摩擦力达到最大静摩擦力；
当接触面已经产生滑动时，动摩擦力与法向约束力成正比。
含干摩擦的问题
没有接触点处于临界运动状态；
典型的平衡问题，未知数个数等于方程个数
利用平衡方程求解摩擦力后，必须保证
所有接触点均处于临界运动状态
未知量数目等于平衡方程数目加上摩擦定律补充方程数目的 和；
若接触点处于临界，则
若物体已经开始滑动，则
部分接触点处于临界运动状态
未知量的数目小于独立方程的数目加上所有摩擦定律补充方程的数目或翻倒条件方程的数目。
会有多种存在的运动或临界运动。
需要判定在实际中到底发生了哪种运动。
湿摩擦
是流体力学研究的范畴
楔块 wedges
一种简单的机械工具，用了将一个作用力转化成更大的力。而且转换后的作用力与原作用力近乎成直角。
轴承安装时卡死怎么理解？按楔块定义来说，也属于楔块的一种。
螺钉的摩擦 Frictional force on screws
矩形螺纹螺钉可以把螺纹看成一个斜方脊绕在一个圆柱上。螺纹选择一圈上升一个螺距。
螺纹升角，P螺距、r平均半径；
向上临界运动
向下临界运动
非自锁螺钉(力矩为负值)
自锁螺钉
自锁螺钉
静摩擦角要大于等于导程角
传送带的摩擦（平带） Frictional force on Flat Belts
作用在传送带上不同接触点处的法向约束力和摩擦力，大小方向都不同。
由于力的分布未知，取微元进行受力分析
忽略二阶小量，且取三角函数原点处线性近似
积分后得
T2与带轮的半径无关，是包角的函数，因此该方程适用于平带绕过任意形状弯曲曲面的情况。
推力轴承和圆盘的摩擦 Frictional force on Collar bearings,Pivot bearings and Disks
环式和立式(Pivot bearing)推力轴承通常在机械中承受转动轴的轴向载荷
考虑环式推力轴承(Collar bearing)均匀承载 Provided the bearing is new and evenly supported,then the nomal pressure p on the bearing will be uniformly distributed over the area
载荷强度为常数
面积微元
作用在微元上的法向约束力
作用在微元上的摩擦力
扭矩（极坐标积分）
若非均匀承载，载荷强度为函数形式，按均匀承载的思路，选择合适的积分方式积分。
由于边缘磨损，立式推力轴承在接触面上所承受的载荷为圆锥面分布载荷、或者存在抛物面分布载荷
滑动轴承的摩擦力 Frictional force on Journal Bearings
若用滑动轴承来承受径向载荷，如果轴承没有被润滑或只是部分润滑，则可以用干摩擦定律来分析轴承上的摩擦力。
随着轴开始转动，轴沿着轴孔爬升，接触点移动到轴承壁的某一点A处，并产生滑动。若径向载荷为P，接触点A处的约束力和摩擦力合力为R，外扭矩为M，此时系统平衡。
动摩擦角
接触点处约束力与摩擦力合力
克服摩擦的转矩
摩擦圆半径
近似取值
克服摩擦的扭矩近似值
为了减小摩擦，轴的半径应该尽可能小，然而在实际中，小半径径向滑动轴承不适合长时间使用，因为经过长时间摩擦会磨损轴和轴承间的接触面。设计中可以采用滚动轴承或加入润滑剂
滚动摩阻 Rolling Resistance
滚动摩阻机理
当一个刚性滚轮在刚性地面上匀速滚动时，两者只有一个接触点，地面作用在滚轮上的法向约束力与过接触点处的切线垂直
然而实际中没有一种材料是刚性的，因此地面对滚轮的约束力为一个分布力系。现在将问题简化成一个坚硬的滚轮在相对较软的地面上的滚动。
滚轮滚动时，前面的面层材料由于变形会阻碍运动，后面的面层材料恢复变形，会推动滚轮向前运动，由于其中一部分能量被消耗掉，所以水平力必须做功才能补偿消耗的能量
滚动摩阻主要由变形引起，接触面的黏附作用及相对微小滑动是次要原因
克服滚动摩阻维持运动时，水平推力难以确定，因此对滚动摩擦问题进行简化
滚动摩阻简化模型
首先，考虑作用在滚轮上的全部法向约束力的合力
合力和铅锤方向之间有一个夹角
滚动摩阻系数，具有长度量纲
滚轮匀角速度转动时，需要法向约束力N、驱动力P、重力W组成共点力系，对A点的合力矩为零
一般情况下，变形对滚轮半径来说非常小
水平推力近似取值
滚动摩阻系数测定
滚动摩阻系数在实验中难以精确测量
它取决于很多因素，如滚轮滚动的角速度、接触面材料的硬度，以及接触面的光洁度。
因此不能完全依赖所提供的滚动摩阻系数
使滚动滚动的力要远远小于滑动的力
滚轮运输问题
虚功原理 Virtual Work
虚功原理 Principle of virtual work
功是标量，有正负，单位焦耳 J=N*m
功的单位虽然和力矩的单位相同，但力矩和功之间没有任何联系。力矩是矢量，而功是标量。
力的功 Work of a force
力偶矩的功 Work of a Couple moment
刚体的运动可以看做是刚体平移和转动的合成
刚体平移时，力偶不做工
刚体转动时，力偶做功
虚功
假设处于静平衡状态的质点或质点系产生无限小位移为虚位移，实际并没有这个位移
虚位移表示
矢径一阶分量
转角一阶分量
虚功
在虚位移上的功
在虚转角上的功
虚功原理
如果一个质点处于静平衡状态，则作用在该质点系上所有的力和力偶矩在任何虚位移上做的功之和等于零
在解决质点或刚体平衡时，采用虚功原理没有优势
虚功原理在刚体系中的应用 Principle of virtual work for a System of Connected Rigid bodies
在解决刚体系的静平衡问题时，虚功原理是非常有效的方法。
在本书中，我们只应用虚功原理去解决一个自由度刚体体系的静平衡问题。我们也可以直接把这种方法推广到多自由度刚体系的静平衡问题。
虚位移是假想的，实际并没有发生。我们沿着坐标轴正向给定一个微小位移作为虚位移。
虚功原理又称为虚位移原理，我们实际上也可以采用虚力来计算平衡时变形体上点的位移，此时称为虚力原理
保守力 Conservative Forces
若一个力对物体做的功与路径无关，只与起点和终点的位置有关，该力称为保守力
重力和弹簧力均为保守力。
重力做功
弹簧力做功
摩擦力为非保守力，而且摩擦力所做的功大部分转化为内能
势能 Potential Energy
定义
保守力作用在物体上，使物体具有了做功的能量，这种能量称为势能。
势能
重力势能，与基准面的选择有关,正负与y值有关
弹性势能，取弹簧原长为零势能点，弹性势能始终为正值。
势能函数
对于只有一个自由度的无摩擦刚体系，系统从q1位置到q2位置，所有重力和弹簧力做的功等于两个位置的势能差
平衡的势能判定
考虑只有一个自由度的无摩擦质点系
考虑系统有一个虚位移
由于虚功为零，虚位移不为零
当一个无摩擦的刚体系处于静平衡时，系统势能函数的一阶导数为零。
平衡的稳定性 Stability of Equilibrium Configuration
势能函数V可以用来判断只在势能作用下，系统的稳定性
平衡的稳定性分类
稳定平衡 Stable Equilibrium
若在系统上施加一个微小干扰使系统偏离初始平衡位置后，系统仍能恢复到初始平衡位置
在这种情况下，势能取极小值
概要
随遇平衡 Neutral Equilibrium
若在系统上施加一个微小干扰使系统偏离初始平衡位置后，系统可以在任意位置保持平衡状态
在这种情况下，势能为常数
不稳定平衡 Unstable Equilibrium
若在系统上施加一个微小干扰使系统偏离初始平衡位置后，系统向远离初始平衡位置的方向运动
在这种情况下，势能取极大值
单自由度系统
若系统只有一个自由度，则系统位置可以由一个广义坐标q来确定。
可以画出V（q）的曲线
若系统处于静平衡状态，则dV/dq=0
平衡稳定性的判定
稳定平衡
随遇平衡
所有高阶导数都为零
不稳定平衡
二阶导数为零，则需要势能函数的高阶导数才能判定稳定性
稳定平衡
第一个不为零的高阶导数为奇数阶，且为正值
随遇平衡
所有高阶导数都为零
不稳定平衡
第一个不为零的高阶导数为偶数阶，或者虽然为奇数阶，但是是负值
动力学
运动学