考研数学由题干应想到的知识点（高数部分）

做数学题目时，总是会出现许多同学看到题干却又不知道如何做，苦苦思索半天。本图将为这些同学搭建起题目与课本知识的桥梁，总结出常见题目和常考知识点。

知识点联想

• 高数上册一些补充
  • 辅助函数
    • 乘积求导公式的逆用
    • 观察题干，复杂或者奇怪的部分可尝试能否变成需证明部分
    • 一般出现一边包含导数，另一边是0则需要辅助函数
  • 求区间内部最值
    • 证明区间内部的值存在大于（小于）端点值
      • 导数定义+保号性
  • 要证明的题目含两个参数
    • 划分区间
      • 拉氏、罗尔等
      • 出现不同函数的导数
        • 柯西
  • 函数闭区间二阶可导
    • 一阶导连续可导
      • 将一阶导看为最基本的函数，使用介值定理
  • 只要存在就可以用的定理
    • 导数零点定理
    • 导数介值定理
  • 出现三个点
    • 两次罗尔
    • 两次拉格朗日
  • 找第三个点
    • 零点定理
  • 连续
    • 最值定理
    • 介值定理
    • 零点定理
  • 看到积分
    • 积分中值定理
    • 将辅助函数设为积分形式
  • 导函数独有性质
    • 连续
    • 有振荡间断点
    • 导函数只有这两种情况
  • f'存在且不为0
    • 导数零点定理/导数介值定理
      • f'恒正或恒负
  • 证明一个东西＝0
    • 不含导数
      • 零点定理
    • 含导数
      • 罗尔定理
  • 有-至少有
  • 求方程的根的个数
    • 零点定理（单调+异号的根）
      • 单调
        • 一阶导
        • 二阶->一阶，找特定的点证明一阶导的正负
      • 异号
        • 取无穷处的极限
        • 泰勒+放缩
        • 通过定理证明存在一个带参数的根
    • 罗尔定理
      • 找相等的点
    • 有且仅有
      • 至多+至少
        • 至多
          • 罗尔原话（注意至多-个根）
          • n次函数最多n个根
        • 至少
          • 罗尔、拉氏等
      • 至多+列举三个（适当使用定理，找到含参数的根）
    • 求完一阶导后无法判断正负
      • 整理、化简（提公因子（恒正、恒负）、通分、有理化）
        • 求二阶导后再往回推
  • 证明含二阶导
    • 泰勒展开
    • 三次罗尔
    • 三次拉格朗日
  • 证明的参数是闭区间的
    • 可使用开区间证明
  • 函数不变号
    • 恒正
    • 恒负
    • 恒为0
  • 看到抽象函数的积分
    • 积分中值定理
    • +求极限
      • 夹逼准则
• 高数下册一些补充
  • f（u,v）具有二阶连续偏导数
    • f''12=f''21
• 主题