第三章 一元一次方程

人教版初中数学第三章《一元一次方程》知识点梳理，包含：1.从算式到方程（①方程的相关概念 ②一元一次方程 ③等式的性质）2.解一元一次方程（①合并同类项 ②移项 ③系数化为1 ④去括号 ⑤去分母 ⑥解一元一次方程的一般步骤）3.实际问题与一元一次方程（①解决实际问题的基本过程 ②列方程解应用题的思想 ③常见类型）

第三章 一元一次方程

• 3.1 从算式到方程
  • 方程的有关概念
    • 方程
      • 含有未知数的等式叫做方程
      • • ①必须是等式
        • ②必须含有未知数
        • 二者缺一不可
      • • ①方程一定是等式，但等式不一定是方程
        • ②方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示
        • ③方程中可含有多个未知数
    • 方程的解
      • 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解
        • 方程的解可能不止一个，也可能无解
      • • 判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点
          • ①它（或它们）是方程中未知数的值
          • ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是
      • 检验一个数是否是方程的解
        • ①将未知数的值分别代入方程的左边和右边
        • ②分别计算方程左边和右边的值
        • ③比较两边的值是否相等
        • ④得出结论
          • 相等，该数是方程的解
          • 不相等，该数不是方程的解
    • 解方程
      • 求方程的解的过程叫做解方程
    • • 方程的解是一个数（或者说一个值），而解方程有“动”的意思，是一个解题过程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果
  • 一元一次方程
    • 只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式，这样的的方程叫做一元一次方程
    • • ①只含有一个未知数（“元”是指未知数）
      • ②未知数的次数都是1（“次”是指未知数的次数）
      • ③是整式方程
      • 三个条件，缺一不可
  • 等式的性质
    • 等式的定义
      • 用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式
    • 等式的性质
      • ①等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式
      • ②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式
    • • 根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形
• 3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
  • 解一元一次方程——合并同类项
    • 与整式加减中所学内容相同
      • 含有未知数的项
      • 常数项
    • • 合并同类项的目的是向接近x=a的形式变形
  • 解一元一次方程——移项
    • 概念
      • 方程的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项
    • 依据
      • 移项的实质是利用等式性质1对方程进行变形
    • 目的
      • 移项时，一般把含未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边
  • 系数化为1
    • 概念
      • 将形如ax=b（a≠0）的方程化成的形式，也就是求出方程的解的过程，叫做系数化为1
    • 依据
      • 等式的性质2
        • 方程两边同时除以未知数的系数或者乘未知数系数的倒数
• 3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母
  • 解一元一次方程——去括号
    • 解方程过程中，把方程中含有的括号去掉的过程叫做去括号
    • 整式去括号法则
  • 解一元一次方程——去分母
    • 一元一次方程的各项都乘所有分母的最小公倍数
  • 解一元一次方程的基本思想
    • 把原方程化为ax=b（a≠0）的形式
  • 一般步骤
    • 1.去分母
      • 方程两边同乘各分母的最小公倍数
        • ①不要漏乘
        • ②分子是一个整体，去分母后应加上括号
    • 2.去括号
      • 先去小括号，再去中括号，最后去大括号
        • ①若括号前有数字因数，去括号时数字因数不要漏乘括号内的项
        • ②若括号前有负号，则去括号后原括号内各项都要变号
    • 3.移项
      • 含有未知数的移到方程的一边，其他项移到另一边
        • ①移项要变号
        • ②不要丢项
    • 4.合并同类项
      • 把方程化成ax=b（a≠0）的形式
        • 字母及其指数不变
        • 同类项的系数为负数时，不要出现符号错误
    • 5.化未知数的系数为1
      • 方程两边同除以未知数的系数a，得到方程的解
        • 不要把分子、分母搞颠倒
        • 注意除数和被除数的性质符号
    • • 解方程时要灵活，不必呆板的按照解方程步骤来，有些步骤可以合并简化
      • 当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母
      • 注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆
    • 解特殊的一元一次方程
      • 含绝对值的方程
        • 
          • 当c＜0时，无解
          • 当c=0时，原方程可化为ax+b=0
          • 当c＞0时，原方程可化为ax+b=c或ax+b=-c
        • • 关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程
          • 分类讨论思想
      • 含字母的一元一次方程
        • 此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论
          • 当a≠0时，
          • 当a＝0，b＝0时，x为任意有理数
          • 当a＝0，b≠0时，方程无解
• 3.4 实际问题与一元一次方程
  • 用一元一次方程解决实际问题的基本过程
    • 基本思路
    • 基本过程
      • ①先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关量
      • ②再根据实际问题中数量之间的相等关系列出方程
      • ③解方程，写出答案
    • 列方程解应用题步骤
      • 1.审
        • 读懂题目，弄清题意
          • 哪些是已知量
          • 哪些是未知量
          • 寻找它们之间的等量关系
            • 列表法
            • 图示法
      • 2.设
        • 设未知数
          • 直接
          • 间接
      • 3.列
        • 列方程
          • 列代数式表示相等关系中的各个量
          • 注意方程两边是同一类量，单位要统一
      • 4.解
        • 解方程
          • 求出未知数的值
      • 5.检验
        • 检验可以不写出，但一定要进行，既要检验是否满足方程，又要检验解是否符合实际情况
        • 检验方程的解是否符合实际意义
      • 6.答
        • 注意单位要写清楚
      • 书面：设、列、解、答
  • 列方程解决实际问题的思想
    • 把原方程化为ax=b（a≠0）的形式
  • 常见列方程解应用题的几种类型
    • 路程问题
      • 相等关系
        • 路程=速度×时间（s=vt）
      • 类型
        • 相遇
          • 基本等量及关系
            • 相遇路程=速度和×相遇时间
          • 寻找相等关系
            • 甲走的路程+乙走的路程＝两地距离
        • 追击
          • 快者走的路程-慢者走的路程=原来的距离
          • 基本等量及关系
            • 追及路程=速度差×追及时间
          • 寻找相等关系
            • 同地不同时出发
              • 前者走的路程＝追者走的路程
            • 同时不同地出发
              • 前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程
        • 环形跑道
          • 同一地点，同时出发时
            • 同向而行时
              • 首次相遇时快者走的路程-慢者走的路程=一圈的长
            • 背向而行时
              • 首次相遇时快者走的路程+慢者走的路程=一圈的长
        • 水流行船
          • 顺水（风）
            • 顺水（风）速=静水（风）速+水流（风）速
          • 逆水（风）
            • 逆水（风）速=静水（风）速-水流（风）速
          • 基本等量及关系
            • 顺水速度=静水速度+水流速度
            • 逆流速度=静水速度－水流速度
            • 顺水速度－逆水速度＝2×水速
          • 寻找相等关系
            • 抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑
    • 工程问题
      • 相等关系
        • 总工作量=工作效率×工作时间
        • 总工作量=各单位工作量之和
      • • 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1
    • 配套问题
      • 根据已知条件分清数量关系，尤其是倍数关系
    • 商品销售问题
      • 相等关系
        • 商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价
        • 
        • 商品售价=商品标价×折扣率
        • 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
      • • 商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损
        • 打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售
    • 其他问题
      • 存贷款问题
        • 利息=本金×利率×期数
        • 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
        • 实得利息=利息-利息税
        • 利息税=利息×利息税率
        • 年利率＝月利率×12
      • 数字问题
      • 方案问题
        • 运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况
        • 用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论