线性代数中常见类型行列式计算的总结

这是一篇关于线性代数中常见类型行列式计算的总结的思维导图。线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

行列式

• 是什么
  • 是一个方阵，并且结果是一个数值
• 重要的性质和形式
  • 性质
    • 行列式中某行（列）为0
    • 行列式中某行（列）相等或成比例
    • 行列式的值为0
    • 交换某行（列），行列式的值前加“-”
    • 某行（列）有公因子，可直接提到行列式的外面（倍乘）
      • 注意矩阵要提一个公因子到外面需要从每一行（列）都提一个公因子
    • 某行（列）的k倍加到另一行（列）（倍加）
    • 行列互换
    • 行列式的值不变
    • 可拆性
• 怎么算
  • 具体型
    • 每行（列）基本不存在0
      • 变为上（下）三角行列式，使用公式计算，注意副对角线行列式结果的正负号
    • 若某行（列）有比较多0
      • 使用行列式展开定理计算，注意代数余子式的正负号
    • 将全部的行（列）加到第一行（列），得到公因子后提出，再变为上（下）三角型行列式
    • 其余行（列）减去第一行（列），再根据实际情况进行处理，便可得到上（下）三角型行列式
    • 长得比较正常的行列式的计算
    • 爪型
      • 正常的爪型
        • 用斜爪消去平爪
          • 将斜爪都变为1，再用平爪减去斜爪，最终可变为三角型行列式
      • 异爪型
        • 在爪子尖处的两个元素使用行列式展开定理展开
          • 变为可计算的基本型行列式
          • 找到递推公式（较难）
    • 范德蒙德行列式
      • 若连续出现幂次，则考虑变成范德蒙德行列式的形式
    • 拉普拉斯展开式
      • 比较多的0可以聚在一起可以变成方阵的时候，考虑将行列式拆分为多个方阵
    • 长得比较特别的行列式
  • 抽象型
    • 主要考虑使用性质
      • 倍乘
      • 倍加
      • 找到相同或成比例的消去（关键）
    • 化为已知矩阵与可计算矩阵的乘积
  • 带参数
    • 注意只有当确定带参数的式子不为0时才可以直接除去
    • 可分情况讨论
      • 为0
      • 不为0