导图社区 同济第八版高数上
重点知识、公式、解题思路......必备复习资料分享，方便大家备考时翻阅查看，提高复习效率，希望对大家备考有所帮助。
社区模板帮助中心，点此进入>>
马克思主义原理
考研数学重点考点知识总结归纳！
数据结构
法理学读书笔记
思维导图带你认识马克思主义原理
建筑光学基本知识
考研英语一写作
教育学考研：教育学原理第八章教学内容整理
考研三步翻译技巧
东方文明古国的教育
高数
函数
映射
分类
初等函数
基本初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算、函数复合步骤所构成的可用一个式子表达的函数
双曲函数，反双曲函数
几种特殊函数
绝对值函数
符号函数
取整函数
分段函数
狄利克雷函数
反函数
反函数单调性与直接函数一样
反函数与直接函数关于y=x对称
复合函数
函数的特性
有界性
有上界
有下界
有界
充要条件是有上界，有下界
无界
单调性
单调增加
单调减少
奇偶性
周期性
函数的运算
极限
数列的极限
收敛数列的性质
极限的唯一性
如果数列收敛，那么它的极限唯一
收敛数列的有界性
如果数列收敛，那么一定有界
收敛数列的保号性
收敛数列与其子数列间的关系
如果数列收敛于a，那么它的任意子数列也收敛于a
如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列是发散的
一个发散的数列也可能有收敛的子数列
函数的极限
极限存在的充分必要条件是左右极限各自存在且相等
函数极限的性质
函数极限的唯一性
如果极限存在，那么这极限唯一
函数极限的局部有界性
函数极限的局部保号性
函数在取极限点的去心邻域内的函数值与极限同号
函数极限与数列极限的关系*
无穷大与无穷小
无穷小的比较
极限运算法则
无穷小运算法则
有限个无穷小之和是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小
有界函数 与 无穷小 的乘积是无穷小
常数 与 无穷小 的乘积是无穷小
极限的四则运算法则
推论
复合函数的极限运算法则
极限存在准则
夹逼准则
数列，函数
单调有界数列必有极限
柯西极限存在准则（柯西审敛原理）*
数列收敛的充分必要条件是：足够大序号的两点间距足够小
两个重要极限
即
函数的连续性
连续性
间断点(不连续点）
性质
连续函数的和差积商都连续
连续函数的反函数连续
连续函数的复合函数连续
基本初等函数在其定义域内连续
一切初等函数在其定义域内连续
闭区间上连续函数的性质
有界性与最大值最小值定理
闭区间，连续函数，有界且一定能取到最大值最小值
零点定理
闭区间上连续，端点函数值异号，则开区间内至少有一零点
介值定理
闭区间上连续，端点函数值不同，则对于端点函数值间的任意数，在开区间内至少有一点取到
闭区间连续函数的值域，分别为最小值最大值
一致连续性*
函数单调性
曲线的凹凸性
凹凸性
拐点
凹凸性改变
平面上二维的点
求拐点
写出二阶导
求出二阶导的零点、不存在点
看二阶导在上述点左右邻近的符号
符号相反，是拐点
函数的极值
必要条件
第一充分条件
第二充分条件
求极值点、极值
写出 一阶导
求出一阶导的零点、不存在点
看一阶导在上述点 左右邻近的符号
判断是否为极值点，是何种极值点
算出极值
函数的最值
求最值
算出上述点的函数值、端点函数值
比较得出最值
函数图形的描绘
定义域
函数的某些特性，如奇偶性、周期性
求出一阶导、二阶导
算出一阶导、二阶导在定义域内的全部零点、不存在点、函数的间断点
用上述点把定义域划分为几个部分区间
确定区间内函数的符号，并确定函数的升降、凹凸、拐点
确定渐近线、其他变化趋势
算出上述点的函数值，必要时补充点
定点，画图
导数
定义
可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等
函数的驻点（稳定点）（临界点）
导数为0的点
一维的点，单x
几何意义
切线斜率
与切线垂直的法线
函数连续性与可导性的关系
可导一定连续，连续不一定可导
求导法则
和差积商
高阶导数
运算
加减
乘除
莱布尼茨公式
例子
隐函数的导数
把隐函数两端分别对x求导，注意，有y项导完记得带上个y'
由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
微分
可微的充分必要条件是可导且微分为
dy是切线纵坐标的增量，因此，当｜Δx｜很小时，可以用切线段近似代替曲线段（非线性函数的局部线性化）
基本初等函数的微分公式
导数带上个dx
微分运算法则
四则运算法则
类比导数
微分形式不变性
微分在近似计算中的应用
实质就是用曲线在该点处的切线来近似代替该曲线
误差估计*
微分中值定理
费马引理
邻域内极值点导数为0
极值点处有定义，可导
罗尔定理
区间端点函数值相等，则区间内至少有一点导数为0
归成导数=0
拉格朗日中值定理
区间内至少有一点
拉格朗日中值公式
也称为微分中值定理
至少有一点，使曲线在这一点处的切线平行于端点连线
变形
有限增量定理
有限增量公式
柯西中值定理
闭区间上连续，开区间上可导
洛必达法则
适用于
泰勒公式
（有n阶导）
（有n+1阶导）
常用的麦克劳林公式
曲率
弧微分公式
曲率越大，弧越弯
曲率圆
在点M处的曲线的法线上凹的一侧取圆心D，以DM为半径作圆
曲率中心
圆心D
曲率半径
方程的近似解
二分法
切线法
割线法
一般迭代法
不定积分
概念
原函数存在定理
连续函数一定有原函数
f(x)的积分曲线
函数f(x)的原函数的图形
无数条，上下平移
微分运算 与 积分运算 是互逆的
基本积分表
不定积分的求法
换元积分法（换元法）
第一类换元法
第二类换元法
辅助三角形
分布积分法
有理函数的积分
有理函数（有理分式）
真分式
待定系数法裂项
假分式
化成一个多项式与一个真分式之和
可化为有理函数的积分举例
三角函数有理式
万能代换
积分表的使用
定积分
闭区间内，连续，可积
闭区间内，有界且只有有限个间断点，可积
面积
定积分的近似计算
矩形法
梯形法（辛普森法）
定积分的性质
补充规定
表明定积分对于积分区间具有可加性
定积分中值定理
这是常数型，不包括无穷型
积分上限的函数及其导数
微积分基本定理
牛顿-莱布尼茨公式，微积分基本公式
换元法
换元必换限
反常积分
无穷限的反常积分
无界函数的反常积分（瑕积分）
函数在点A的任一邻域内都无界，那么点A称为函数的瑕点（无界间断点）
收敛与发散
极限存在，称反常积分收敛
极限不存在，称反常积分发散
应用
元素法
在几何学上的应用
平面图形的面积
直角坐标
求两条曲线围成的面积
求出交点
取横坐标/纵坐标为积分变量，变化区间为...
求定积分
极坐标
体积
旋转体
平行截面面积已知的立体
平面曲线的弧长
光滑曲线弧可求长
在物理学上的应用*
微分方程
基本概念
可分离变量的微分方程
一端只含y，一端只含x
求通解：分离变量，两端积分
齐次方程
求通解
将方程化为
令
原方程化为，，，
分离变量，两端积分
再代回
可化为齐次的方程*
一阶线性微分方程
齐次
非齐次
求通解：直接代公式
伯努利方程*
可降价的高阶微分方程
求通解：连续积分
设
得到关于x、p的一阶微分方程
解得
再积分得到y
则
得到关于p、y的一阶微分方程
高阶线性微分方程
线性微分方程解的结构
线性相关：两个函数的比为常数
非齐次方程的通解=齐次方程通解+非齐次方程特解
线性微分方程的解的叠加原理（特解+特解=特解）
常数变易法*
常系数齐次线性微分方程
写出特征方程
解特征方程
根据特征方程的解直接写出通解
n阶
按类别分别表示特征方程的n个根
常系数非齐次线性微分方程
求对应其次方程的通解
待定系数法求非齐次方程的一个特解
是...型，其中λ=... m=...
写出对应的齐次方程
看λ是不是特征方程的根
设方程的一个特解为
k按λ 不是特征方程的根、是单根、是重根 依次取为0、1、2
同时写出一阶导、二阶导
代回方程
对比系数，得到特解
是...型，其中λ=... ω=...
看λ+ωi是不是特征方程的根
k按λ+ωi 不是特征方程的根、是单根 依次取为0、1
即混合1、2型
用叠加定理拆分f（x）
分别设出两个特解
合并后再代回原方程求出；或者分别代回方程求出再合并
收敛数列一定有界；有界数列不一定收敛，需要单调
