小学五年级数学知识重点（北师大版2021）

这是一篇关于小学五年级数学知识重点（北师大版2021）的思维导图，主要内容为基础算术、图形认知、代数、几何和数学应用等。

小学五年级数学知识重点 （北师大版）

• 图形认知
  • 对称图形
    • 绘制对称轴，通过对称轴的一边从而画出另一边（5上）
• 代数
  • 倍数与因数（5上）
    • 倍数与因数定义及计算
      • 一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数
      • 不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数
      • 两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数
      • 整除：若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零， 我们就说a能被b整除（或说b能整除a）
      • 一个数的末尾是0，2，4，6，8，这个数就是2的倍数
      • 一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数
      • 一个数的末两位是4的倍数，这个数就是4的倍数
      • 一个数的末尾是0或5，这个数就是5的倍数
    • 偶数与奇数
      • 偶数是能够被2所整除的整数。正偶数也称双数
      • 0是一个特殊的偶数。它既是正偶数与负偶数的分界线，又是正奇数与负奇数的分水岭
      • 奇数指不能被2整除的整数
      • 两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数
    • 公倍数
      • 两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数
      • 两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数
    • 公因数
      • 两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数
      • 两个或多个整数的公因数里最大的那一个叫做它们的最大公因数
    • 质数和合数
      • 一个大于1的整数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数
      • 合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整数的数
      • 概念：1既不是质数也不是合数
    • 所有不为零的整数都是0的因数（还有争议）
  • 小数
    • 小数除法（5上）
      • 小数除法
        • 除数是整数的小数的除法：先按照整数除法的法则去除，除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0，再继续除
      • 小数除法竖式
        • 小数除法竖式的格式和整数除法竖式的格式基本一样，注意商的小数点要和被除数的小数点对齐，除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0，再继续除
    • 小数分类（5上）
      • 有限小数
        • 有限小数指小数部分后有有限个数位的小数。有限小数都属于有理数，可以化成分数形式
      • 无限小数
        • 无限循环小数
          • 无限不循环小数指从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数叫做循环小数。循环小数亦属于有理数，可以化成分数形式
          • 一个循环小数不断出现的数字叫做这个循环小数的循环节。循环小数可以只写一个循环节，并在首位和末位上各点一个圆点，例如3.2727...，写作：
        • 无限不循环小数
          • 无限不循环小数指小数部分有无限多个数字，且没有依次不断地重复出现的一个数字或几个数字的小数叫做无限不循环小数，如圆周率π=3.14159265358979323……。无限不循环小数也就是无理数，不能化成分数形式
    • 小数混合运算（5上）
      • 小数混合运算的运算顺序和整数混合运算的运算顺序一样
      • 小数的运算律和整数混合运算的运算律一样
  • 分数
    • 真分数和假分数（5上）
      • 真分数：真分数是指分子小于分母的分数。真分数小于1
      • 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数。假分数大于1或者等于1
      • 分子与分母相等的分数的数值为1
      • 带分数
        • 整数和真分数合成的数通常叫做带分数，可以用来表示假分数
        • 带分数写法为：
        • 带分数的读法为：整数又分母分之分母
      • 带分数与假分数转化：把带分数化成假分数，用原来的分母作分母，用分母和整数的乘积再加上原来的分子作分子。把假分数化成带分数，要用假分数的分子除以分母，所得的商就是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变
      • 在做分数乘除法时要把带分数化为假分数
    • 分数与除法的关系（5上）
      • 被除数除以除数等于除数分之被除数
      • a÷b=
    • 分数的基本性质（5上）：分数的分子与分母同时乘或除一个不为0的数，分数大小不变
    • 通分（5上）
      • 通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程
      • 通分的步骤：先求出原来几个分数的分母的最简公分母； 根据分数的基本性质，把原来分数化成以最简公分母为分母的分数
    • 分数比大小（5上）
      • 异分母分数比大小，先通分，再比较
    • 约分和最简分数（5上）
      • 约分：把分数化成最简分数的过程
      • 约分也是利用分数的基本性质，过程和通分类似
      • 最简分数：分子、分母只有公因数1的分数
    • 异分母分数加减法（5下）
      • 异分母分数相加减，先通分再按同分母分数相加减法去计算，最后能约分的要约分
      • 分数运算律与运算顺序和整数的运算律与运算顺序相同
      • 小数和分数的换算
        • 小数化分数：看小数点后面有几位小数,就在1后面添几个0作分母,同时把小数去掉小数点作分子,然后能约分的要约分
        • 分数化小数：可以直接用分子除以分母，得到的结果就是小数
    • 分数乘法（5下）
      • 分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后能约分的要约分
      • 分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后能约分的要约分
      • 扩展概念：倒数，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，1的倒数是1。
    • 分数除法（5下）
      • 分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数，则用分子除以整数，最后能约分的要约分
      • 分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后能约分的要约分
      • 分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后能约分的要约分
  • 拓展：二元一次方程
    • 定义：只含有一个未知数，且未知数次数是一的整式方程叫二元一次方程，一个二元一次方程可以有无数个解。
    • （拓展：由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组，二元一次方程组只有一个解，并能满足两个方程）
    • 消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。消元的方法有两种： 代入消元 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7 把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7 x=-24/7，y=59/7 这种解法就是代入消元法。 加减消元 例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②，得2x=14，即x=7 把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2 x=7，y=2 这种解法就是加减消元法
    • 解二元一次方程的步骤：1.有分数先去分母（利用分数的基本性质，在等式两边同时乘分母的倍数）。2.有括号就去括号。3.消元，得到一元一次方程组。4.如果需要的话，合并同类项。5.系数化为1求得一个未知数的值，再求另一个未知数值。
• 几何
  • 面积计算
    • 底和高的定义和画法（5上）
      • 从三角形的一个顶点到其对边或对边的延长线做一条垂线段，这条垂线段就是三角形的高，而高的垂足所在的边就是三角形的底
      • 从平行四边形的一条边的一点到这条边的对边做一条垂线段，这条垂线段就是平行四边形的高，而高的垂足所在的边就是平行四边形的底
      • 从梯形上底的一点到下底做一条垂线段，这条垂线就是梯形的高
    • 三角形，梯形，平行四边形面积计算（5上）
      • 平行四边形面积=底×高
      • 梯形面积=（上底+下底）×高÷2
      • 三角形面积=底×高÷2
      • 等底同高的三角形面积相等
      • 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比
      • 三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形
    • 组合图形的面积（5上）
      • 组合图形的面积计算的方法：将一个组合图形分割成已经学过的图形，将这些已经学过的图形的面积加起来得到的就是这个组合图形的面积
    • 公顷和公亩（5上）
      • 公顷和公亩都是常用的面积单位
      • 1公亩=100平方米
      • 1公顷=100公亩
  • 立体几何
    • 立体图形
      • 棱柱
        • 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且这些四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱
        • 在一个棱柱中：两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线；两个底面之间的距离叫做棱柱的高
        • 棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等
        • 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱
        • 直棱柱的侧面与对角面都是矩形
        • 直棱柱相邻两条侧棱互相平行且相等
      • 长方体
        • 长方体是底面是长方形的直棱柱，长方体表面的每一个矩形都叫做长方体的面，面与面相交的线叫做长方体的棱，三条棱相交的点叫做长方体的顶点（详见附录）
        • 长方体有6个面。每组相对的面完全相同。长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。三条棱分别叫做长方体的长，宽，高。长方体相邻的两条棱互相垂直
        • 正方体是特殊的长方体，正方体是六个面都是正方形的长方体（详见附录）
        • 正方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱。正方体有12条棱，每条棱长度相等。正方体有6个面，每个面面积相等，形状完全相同
    • 体积与表面积
      • 主要概念
        • 表面积：立体图形表面所有面的面积之和
        • 体积：物体所占空间的大小
        • 容积：容器所能容纳的物体的体积
        • 体积单位
          • 立方毫米：棱长为1毫米的正方体的体积
          • 立方厘米：棱长为1厘米的正方体的体积
          • 立方米：棱长为1米的正方体的体积
          • 1000立方毫米=1立方厘米
          • 1000立方厘米=1立方分米
          • 1000立方分米=1立方米
        • 容积单位
          • 棱长为1平方分米的正方体的容积是1升（L）
          • 棱长为1平方厘米的正方体的容积是1毫升（mL）
        • 相邻两个体积或容积单位的进率是1000
      • 长方体的展开与折叠
      • 表面积的计算
        • 直棱柱的侧面积=底面周长×侧棱长
        • 直棱柱的表面积=侧面积+底面积×2
        • 长方体表面积的公式：（长×宽+长×高+宽×高）×2
        • 正方体表面积的公式：棱长×棱长×6
      • 体积的计算
        • 棱柱的体积=底面积×测棱长
        • 直棱柱的体积=底面积×侧棱长
        • 长方体体积公式：长×宽×高或底面积×高
        • 正方体体积公式：棱长×棱长×棱长
• 统计
  • 统计图
    • 复式条形统计图（5下）
      • 条形统计图分为单式条形统计图和复式条形统计图，前者只表示1个项目的数据，后者可以同时表示多个项目的数据
    • 复式折线统计图（5下）
      • 折线统计图分单式或复式。复式的折线统计图有图例，用不同颜色或形状的线条区别开来
      • 复式折线统计图一般用于两者之间比较，主要作用是看两者之间的进度和增长
      • 子主题
  • 平均数的定义及计算方法
    • 实用平均数（5下）：一组数据中，因为有的数据太大或太小，去掉更有代表性，因此实际应用中经常把最大和最小的数据去掉，再把剩下的数据相加，最后用数据的和除以数据的总数量，得出平均数，例如比赛中的评分常用这种方法。
• 数学应用
  • 确定位置（5下）
    • 方向和距离是确定位置的主要要素
    • 位置一般是用东南西北四项限和相对角度来确定