七下第六章实数思维导图

这是一篇关于七下第六章实数思维导图，包含算术平方根、平方根和开平方、立方根和开立方、无理数、实数的定义与分类、非负数的常见形式与性质。

实数

• 算术平方根
  • 定义：
    • 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
  • 表示方法：
    • a的算术平方根记为√a，读作“根号a”
  • 算术平方根的规律：
    • 子主题
      • 被开方的小数向或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
• 平方根和开平方
  • 定义：
    • 一般地，如果一个数的平方根等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x²=a，那么x叫做a的平方根.
  • 表示方法：
    • a的平方根记为±√a，读作“正、负根号“
  • 平方根的性质：
    • （1）正数有两个平方根，它们互为相反数.其中正的平方根就是这个数的算术平方根.
    • （2）0的平方根是0
    • （3）负数没有平方根
  • 开平方定义：
    • 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数.
  • 平方根的估算：
    • 要估算“√a（a≥0）”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如2²＜7＜3²，所以2＜√7＜3；第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1）并求其平方，确定被估算数的十分位；......，如此继续下去，可按要求估算“√a”的近似值，即用“夹逼法”.
• 立方根和开立方
  • 立方根定义：
    • 一般地，如果一个数的立方根等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次立方根.这就是说，如果x³=a，那么x叫做a的立方根
  • 表示方法：
    • a的立方根记为³√a，读作“三次根号a”其中a是被开方数，3是根指数.
  • 开立方定义：
    • 求一个数的立方根运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根.
  • 立方根性质：
    • （1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数.
    • （2）0的立方根是0
  • 算术平方根、平方根与立方根的区别于联系：
• 无理数
  • 定义：
    • 无限不循环小数叫做无理数.
  • 常见的无理数：
    • （1）所有开方开不尽的方根，如√5，³√-3
    • （2）化简后含π的数，如2π
    • （3）人造无限不循环小数
  • 无理数的小数部分的表示：
    • 无理数是无限不循环小数，因此其小数部分是不可能全部写出来的.我们知道，√2的整数部分是1，.因此，√2的小数部分就是√2-1.即一个无理数减去整数部分的差就是小数部分，如π的整数部分是3，小数部分是π-3.
• 实数的定义及分类
  • 定义：
    • 有理数和无理数统称实数
  • 分类：
    • （1）按定义分：
    • （2）按正负分：
  • 实数与数轴上的点的对应关系：
    • 实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
  • 实数的性质：
    • （1）数a的相反数是-a，这里a表示任意一个有理数.
    • （2）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
    • （3）实数a的倒数为a/1（a≠0），若a与b互为倒数，则a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数.
• 非负数的常见形式及性质
  • 常见的非负数的三种形式：
    • （1）任意实数a的绝对值是非负数，即| a |≥0
    • （2）任意实数a的平方是非负数，即a²≥0（a²ⁿ≥0，n为整数
    • （3）任意非负数a的算术平方根是非负数，即√a≥0，且a≥0.
  • 非负数性质：
    • （1）有限个非负数的和仍是非负数
    • （2）两个非负数的差不一定是非负数：当被减数小于减数时，其差为负数；当被减数大于或等于减数时，其差非为负数
    • （3）有限个非负数的积（包括乘方）仍是非负数
    • （4）非负数的商（除数不为零）仍是非负数
    • （5）非负数大于一切负数
• 初一.17 齐书轩