高数

这是一篇关于高数思维导图，总结了函数，极限，连续、微分学、无穷级数、 积分学等知识要点。

高数

函数，极限，连续

。。。

函数的左右极限，极限的四则运算，无穷大无穷小的定义及比较

x趋近0可以使用等价，然后化简代入计算

子主题

x趋近无穷用1的无穷型

最高次系数比

函数连续概念，间断点，闭区间上连续函数的性质 （最大值最小值定理，零点存在定理）

微分学

一元函数微分学

导数与微分概念

判断是否连续，是否可导，为什么？

左极限是否等于右极限，通过导数微分概念公式带入，左右导数相等即可导

导数求导方法

基本初等函数 的导数

导数与微分的四则运算

微分与导数关系

可导与可微充分必要 可导d(y)比d（x）＝f（x）的一次导 可微d（y）＝f（x）的一次导乘d（x）

可微说明连续，连续说明极限存在

复合函数隐函数以及参数方程确定的函数的微分法

如何求隐函数相关？

直接两边求导再把y”提出来

微分运算法则

简单函数的n阶导数

一阶微分形式不变性，可微可导关系

中值定理

罗尔定理

f（x）在【a，b】上连续，在（a，b）内可导，f（a）＝f（b）则 至少存在一点c∈（a，b）使f（c）的一次导为0

拉格朗日定理

f（x）在【a，b】上连续，在（a，b）内可导，f（a）＝f（b）则 至少存在一点c∈（a，b）使f（c）的一次导为f(b)-f(a)比b-a

导数应用

洛必达法则

前提0比0，无穷比无穷 求导（可重复）

函数单调性判定

函数极值及其求法

求导得O列表

函数最大值，最小值 的求法及其简单应用

需要端点值和得0值比较

函数极值与最值区别

一个函数可以有很多极值但只有一个最值 极值是局部性质，最值是整体性质。 区间端点一定不是极值点 最值只能在端点处和极值点处取得

函数图形的凹凸性与拐点及其求法

1确定定义域 2求两次导使其等于O得出x的值 3列处x，f（x）的一次导和f（x）在不同区间的增减性判断凹凸

导数在经济中的应用

边际函数，收益函数，需求函数，供给函数

多元函数微分学

定义

偏导数

全微分

常微分方程

积分学

一元函数积分学

不定积分

原函数（一个函数的原函数不唯一，两个原函数相差一个常数） 存在定理：连续函数一定具有原函数

性质

计算

计算方法

公式法

换元积分法

第一类换元法（凑微分法）

关键是找中间变量

第二类换元

三角代换

低频

当被积函数含有根号下a的平方减x的平方，令x＝asint，t∈负二分之π到二分之π

当被积函数含有根号下a的平方加x的平方，令x＝atant，t∈负二分之π到二分之π

当被积函数含有根号下x的平方减a的平方，令x＝asect

代数代换

高频

含根号的普通计算（重要的还是转换中间变量那步）本质上来讲是为了去根号，最后再转回来

分部积分

注意：（当被积函数是两个异名函数相乘，不能凑微分，则利用分部积分） （用分部积分时，先确定u（x）其优先顺序是反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，其余的为v(x)的导数

先根据反对幂指三确定u(x)和v（x）的导，然后代入公式

定积分

定义和性质

几何意义

积分上限函数及其性质

定积分计算

关键找被积函数的原函数

。。。。

凑微分法

换元法（换元必换限，当被积函数含有根号，不能凑微分，则换元）

分部积分

反常积分（带有无穷的）

定积分应用

求函数围成的面积

求旋转体体积

无穷级数

不存在为发散 存在为收敛

结论

等比级数，q大于等于1是发散，小于1是1减q分之a 调和级数n分之一是发散 n的p次方，p小于等于一时是发散，大于一是收敛

收敛加减收敛是收敛 收敛加减发散是发散 发散加减发散不确定

若un大于零则为正项级数

比较判别法

大收则小收

小发则大发

比较判别法极限形式

当n趋近无穷，un和vn等价，则他们敛散性相同

比值判别法

若un为正项级数且u（n+1）比上u（n）等于p。 p小于一，收敛 p大于一，发散 p等于一，不确定

任意项级数的敛散性

交错级数（正负项交替出现）

绝对收敛与条件收敛

若un绝对值收敛则un绝对收敛 若un绝对值发散则un条件收敛

幂级数

定义

收敛域与发散域

收敛半径和收敛域

行列式，矩阵，线性方程组

浮动主题

上面的减下面的

lim f（x）比g（x）等于0是高阶 等于无穷是低阶 等于常数是同阶 等于1是等价

无穷大

无穷小