整式与分式

下图结构清晰，涵盖了整式的乘法公式、整式的因式分解、整式的代数式最值、分式的齐次方式等内容。该图适用于复习管理类联考综合中的数学时使用。

整式与分式

• 整式
  • 乘法公式
    • （1）平方和平方差，包括三个数的平方
    • （2）(a+b)(a²-ab+b²)=a3+b3  (a-b)(a²+ab+b²)=a3-b3 
    • （3）a²+b²+c²+ac+bc+ab=½[(a+b)²+(a+c)²+(b+c)²]
    • （4）（a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
    • （5）a³+b³+c³-3abc=½(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²]
  • 因式分解
    • 首尾项判断、特值验证
    • 方法：十字相乘法、双十字相乘法(如含有x,y的先分解x²,y²,xy的项)、公式法
  • 求展开式系数
    • （1）对应项的系数相等
    • （2）待定系数法（通常是一个多项式是完全平方求那个式子）
    • （3）展开式系数和用赋值法1和0，结合二项式定理
  • 代数式最值
    • （1）转化为一个未知数用函数最值
    • （2）均值不等式
    • （3）配成含有平方的式子
  • 三角形形状判断
    • 转化为边的关系
    • 常考公式：a²+b²+c²-ac-bc-ab=½[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]，如式子=0则a=b=c
  • 整式除法与余式定理
    • 按具体数的除法算出商，
    • 整除的性质
      • （1）h(x)|g(x),g(x)|f(x),则h(x)|f(x)
      • （2）h(x)|g(x),h(x)|f(x),则h(x)|[u(x)f(x)+v(x)g(x)]
    • 因式定理：若x=a时，F(A)=0,则x-a是F(x)一个因式
    • 余式定理：若有x=a时使除式=0，则F(A)=余式
      • （1）求一个多项式余式时，用待定系数法设余式最高次项为，多项式最高次项次数与除式最高次项数的差，
      • （2）已知f(x)除以A式的余式为a，除以B式的余式为b，那么f(x)除以A*B的余式为；设f(x)=A*a*g(x)+kA+a,然后运用余式定理
• 分式
  • 齐次分式
    • 优先考虑赋值法
    • 找出未知数间关系，转化为一个未知数
  • 形如x+1/x=a的问题
    • 迭代降次法
    • 平方升次
    • 整式除法：用所求多项式除以给出的已知关系式·求得的余数就是多项式的值
  • 关于1/a+1/b+1/c=0的问题
    • 若此式=0，则a²+b²+c²=(a+b+c)²
  • 其他分式化简求值
    • （1）式子适合赋值的优先带入特殊值，特别是条件充分性题
    • （2）见比设k
    • （3）取倒数
    • （4）迭代降次