无穷级数

这是一个无穷级数的思维导图，从常数项级数和幂函数两个部分做了介绍，是考研数学中的知识点，有需要的小伙伴可以参考借鉴。

无穷级数

• 常数项级数
  • 收敛的充要条件：部分和数列的极限存在（极限不存在包括无穷大和震荡）
  • 收敛的必要条件：数列极限为0
  • 结合律：收敛，则加括号后得到的新级数也收敛
  • 如果加括号后形成的新级数发散，则原级数发散
  • 正项级数
    • 正项级数敛散性判断
      • 充要条件：部分和数列有界
      • 必要条件：数列极限为0
      • 判断步骤
        • 先用必要条件，不满足必要条件则发散，满足则走着瞧，继续判断
  • 任意项级数
    • 任意项级数敛散性判别
      • 第一步和正项级数一样，先用必要条件，不满足极限为0则发散，如果满足必要条件，继续判断
      • • • 若是莱布尼兹判别法判别不了或者不是交错级数
        • 如果收敛，则条件收敛（本来收敛，加绝对值后发散）
  • 交错级数
    • 交错级数敛散性判别
• 幂级数
  • 从广义上理解幂级数！
    • 做题时把n次幂全合到一起，就像凑等价无穷小一样
  • 幂级数的敛散性和幂级数和函数的值取决于x的取值
  • 讨论了在端点处的敛散性就可以确定收敛域
  • 0
  • ，收敛区间为（+∞，-∞）
  • 求收敛半径和收敛域
    • 求收敛半径，比值法，根值法
    • 进一步讨论幂级数在端点处的敛散性
    • 得到收敛域
  • 和函数
    • 连续性：和函数在收敛域上连续 所以，如果求得和函数在收敛域上缺了一个点，要在该点处求极限，因为连续性，极限即和函数在该点的值
    • 逐项可积性 逐项可导性
      • 逐项积分，逐项求导后得到的幂级数和原幂级数不是收敛域一样！是收敛半径
      • 产生麦克劳林级数
        • 麦克劳林展开式~n阶可导~+o（x^n） 麦克劳林级数～任意阶可导~无穷展开
        • 子型级数：由求导得，角标从0开始，x在分母上
          • • 2，3是一阶导，二阶导
        • 母型级数：由积分得，角标从1开始
          • • （1）（2）取1时，调和级数，发散，取-1时，交错级数，收敛 （3）（4）n从0开始，x^（2n+1）是一样的
        • 级数分解定理
          • 阶数和系数要严格配齐（用x，乘x除x，把x往n上配，n不能随便动，n是求和的范围）
        • 阶乘型级数：角标从1开始
        • 微分方程型级数
    • 求和函数的步骤
      • 将复杂的系数拆成简单的求和
      • 将各项中的系数向阶数配齐
      • 凑麦克劳林级数
      • 将无定义的点用极限补齐