导图社区 正比例函数
这是一篇关于正比例函数的思维导图,主要内容包括:练习巩固,经典例题。复习用、预习用,提高学习效率。
编辑于2024-04-10 20:46:36正比例函数
1. 经典例题
一、正比例函数的定义
1、已知,当为何值时,是的正比例函数?
【思路点拨】正比例函数的一般式为,要特别注意定义满足,的指数为1. 【答案与解析】 解:由题意得, 解得 =2 ∴当=2时,是的一次函数. 【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征:(1)不等于零;(2)的指数是1.
【变式】如果函数是正比例函数,那么的值是________.
【答案】 解:由定义得 解得 ∴ =2.
二、正比函数的图象和性质
2、在同一直角坐标系上画出函数y=2x,y=﹣x,y=﹣0.6x的图象.
【思路点拨】分别在每个函数图象上找出两点,画出图象,根据函数图象的特点进行解答即可. 【答案与解析】 解:列表:  描点,连线:  【总结升华】本题考查的是用描点法画函数的图象,具体步骤是列表、描点、连线.
3、已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(﹣6,2), 那么函数值y随自变量x的值的增大而 . (填“增大”或“减小”)
【思路点拨】根据正比例函数的性质来判断. 【答案】减小; 【解析】解:把点(﹣6,2)代入y=kx,得到:2=﹣6k, 解得k=﹣<0, 则函数值y随自变量x的值的增大而减小. 【总结升华】此题主要考查了正比例函数的性质,关键是确定函数中k的值,当>0时,随着的增大也增大;当<0时,随着的增大反而减小.
【变式】下列关于正比例函数y=﹣5x的说法中,正确的是( ) A.当x=1时,y=5 B.它的图象是一条经过原点的直线 C.y随x的增大而增大 D.它的图象经过第一、三象限
【答案】B; 解:A、当x=1时,y=﹣5,错误; B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线,正确; C、根据k<0,得图象经过二、四象限,y随x的增大而减小,错误; D、图象经过二四象限,错误; 故选B.
4、如图所示,在同一直角坐标系中, 一次函数、、、 的图象分别为、、、, 则下列关系中正确的是( )  A.<<< B.<<< C.<<< D.<<<
【答案】B; 【解析】首先根据直线经过的象限,知:<0,<0,>0,>0,再根据直线越陡,||越大,知:>||,||<||.则<<< 【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质,首先根据直线经过的象限判断的符号,再进一步根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小,最后判断四个数的大小.
三、正比函数应用
5、如图所示,射线、分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系,则他们行进的速度关系是( ).  A.甲比乙快 B.乙比甲快 C.甲、乙同速 D.不一定
【思路点拨】观察图象,在t相同的情况下,有,故易判断甲乙的速度大小. 【答案】A; 【解析】由知,,观察图象,在相同的情况下,有,故有. 【总结升华】此问题中,、对应的解析式中,的绝对值越大,速度越快.
【变式】如图,OA,BA分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象,图中和分别表示运动路程和时间,根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快( ) A.2.5米 B.2米 C.1.5米 D.1米 
【答案】C; 提示:从图中可以看出甲用了8秒钟跑了64米,速度是8米/秒,乙用了8秒钟跑了52米,速度是米/秒,所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5米.
2. 练习巩固
一.选择题
1. 直线过点(0,0)和点( ) A.(-1,-3) B.(1,3) C.(1,-3) D.(3,-1)
1. 【答案】C; 【解析】正比例函数过原点和点(1,).
2. 下列函数中,是正比例函数的是( ) A. B. C. D.
2. 【答案】A;
3.在下列各图象中,表示函数y=﹣kx(k<0)的图象的是( ) A.  B.  C.  D.
3. 【答案】C; 【解析】解:∵k<0,∴﹣k>0, ∴函数y=﹣kx(k<0)的值随自变量x的增大而增大,且函数为正比例函数, 故选:C.
4. 如图所示,直线的函数解析式是( ).  A. B. C. D.
4. 【答案】C; 【解析】由图知,的图象过点(-3,2),则2=-3,解得,故选C.
5.关于函数y=2x,下列结论中正确的是( ) A.函数图象都经过点(2,1) B.函数图象都经过第二、四象限 C.y随x的增大而增大 D.不论x取何值,总有y>0
5. 【答案】C; 【解析】A、函数图象经过点(2,4),错误;B、函数图象经过第一、三象限,错误; C、y随x的增大而增大,正确;D、当x>0时,才有y>0,错误;故选C.
6.点A(–5,)和B(–2,)都在直线上,则与的关系是( )  A. ≤ B. = C. < D. >
6. 【答案】D; 【解析】<0,随着的增大而减小.
二.填空题
7.若直线经过点A(-4,3),则=______.如果这条直线上点A的横坐标=4,那么它的纵坐标=______.
7. 【答案】;-3; 【解析】将点A的坐标代入,求.
8. 已知三角形底边长为4,高为,三角形的面积为,则与的函数关系式为_______________.
8. 【答案】; 【解析】由题意.
9. -2与+1成正比例,比例系数为-2,将表示成的函数为:___________.
9. 【答案】; 【解析】由题意可得:,化简得:.
10.已知正比例函数y=(1﹣m)x|m﹣2|,且y随x的增大而减小,则m的值是 .
10.【答案】3; 【解析】解:∵此函数是正比例函数, ∴, 解得m=3.
11. 若函数是正比例函数,那么=______,图象经过第_______象限.
11.【答案】4,一、三 【解析】函数是正比例函数,可知-4=0,可以得出的值,即可得出函数关系式,比例系数为15>0,故图象过第一、三象限.
12. 若函数y=(2m+6)x+(1﹣m)是正比例函数,则m的值是 .
12.【答案】1; 【解析】∵函数y=(2m+6)x+(1﹣m)是正比例函数,∴,解得m=1.
三.解答题
13.蜡烛点燃后缩短长度()与燃烧时间(分钟)之间的关系为,已知长为21的蜡烛燃烧6分钟后,蜡烛缩短了3.6,求: (1)与之间的函数解析式; (2)此蜡烛几分钟燃烧完.
13.【解析】 解:(1)由题意,3.6=6,解出=0.6 所以=0.6  (2)21=0.6,解得=35,所以此蜡烛35分钟燃烧.
14.已知y是x的正比例函数,且函数图象经过点A(﹣3,6). (1)求y与x的函数关系式; (2)当x=﹣6时,求对应的函数值y; (3)当x取何值时,y=.
14.【解析】 解:(1)设正比例函数解析式为y=kx, ∵图象经过点(﹣3,6), ∴﹣3k=6, 解得k=﹣2, 所以,此函数的关系式是y=﹣2x; (2)把x=﹣6代入解析式可得:y=12; (3)把y=代入解析式可得:x=﹣.
15.若正比例函数的图像经过点A(-5,3), (1)求的值; (2)判断随的增大如何变化; (3)如果这条直线上点B的横坐标=4,那么它的纵坐标的值是多少?
15.【解析】 解:(1)∵直线经过点A(-5,3)∴3=-5 ∴= ∴直线的解析式为 (2)∵=<0,∴随的增大而减小。 (3)∵B点在直线上,=4,∴=.