导图社区 数学分析
数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
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数据结构
数学分析
高等数学预备知识
一、函数的概念与特性
（一）函数
（二）反函数
（三）复合函数
（四）四种特性
有界性
单调性
奇偶性
周期性
二、函数的图像
（一）直角坐标系下的图像
（二）极坐标系下的图像
（三）参数方程
三、常用基础知识
第 2 讲 数列极限
一、定义
二、用性质
（一）唯一性
（二）有界性
（三）保号性
三、用运算规则
四、用夹逼准则
五、用单调有界准则
求极限（或证明极限的存在性）
第 3 讲 函数极限
一、函数极限
（一）邻域
（二）定义
（三）性质
唯一性
局部有界性
局部保号性
(四）运算规则
（五）夹逼准则
（六）洛必达法则
（七）泰勒公式
公式
展开原则
（八）归结原则
（九）无穷小比阶
七种未定式的计算
二、连续与间断
（一）连续点的定义
（二）间断点的定义与分类
可去间断点
跳跃间断点
无穷间断点
振荡间断点
第 4 讲 函数的连续性
一、连续性概念
（一）函数在一点的连续性 （二）间断点及其分类 （三）区间上的连续函数
二、连续函数的性质
（一）连续函数的局部性质
（二）闭区间上连续函数的性质
（三）反函数的连续性
（四）一致连续性
三、初等函数的连续性
（一）初等函数的连续性
（二）指数函数的连续性
第 5 讲 导数与微分
一、概念
（一)引例
（二）导数的概念
（三）微分的概念
二、导数与微分的计算
（一）四则运算
和、差的导数（微分）
积的导数（微分）
商的导数（微分）
（二）分段函数的导数
在分段点处——导数定义
不在分段点处——直接求导
（三）复合函数的导数与微分形式的不变性
链式求导规则
一阶微分形式不变性
（四）反函数的导数
反函数的一阶导数
反函数的二阶导数
（五）参数方程所确定的函数的导数
直角坐标系
极坐标系
参数方程
（六）隐函数求导法
公式法
（七）对数求导法
取对数再
（八）幂指函数求导法
（九）高阶导数
归纳法
莱布尼茨公式
泰勒公式
（十）变限积分求导公式
基本求导公式（背）
三、几何应用
（一）极值与最值的概念
极值
最值
（二）单调性与极值的判别
单调性判别
判极值的必要条件
判极值的第一充分条件
判极值的第二充分条件
判极值的第三充分条件
（三）凹凸性与拐点的概念
凹凸性
拐点
（四）凹凸性与拐点的判别
凹凸性判别
判拐点的第一充分条件
判拐点的第二充分条件
判拐点的第三充分条件
（五）渐近线
铅锤渐近线
水平渐近线
斜渐近线
（六）最值或取值范围
闭区间[a,b]
开区间（a,b)
（七）作函数图像
第 6 讲 微分中值定理及其应用
定理1——有界与最值定理
定理2——介值定理
定理3——平均值定理
定理4——零点定理
定理5——费马定理
定理6——罗尔定理
定理7——拉格朗日中值定理
定理8——柯西中指定理
定理9——泰勒公式
定理10——积分中值定理
第 7 讲 零点问题和微分不等式
一、零点问题
（一)零点定理——（证存在性）
（二）单调性——（证唯一性）
（三）罗尔原话
（四）实系数奇次方程至少有一个实根
二、微分不等式
（一）用函数性态证明不等式
（二）用常数变量化证明不等式
（三）用中值定理证明不等式
第 8 讲 实数的完备性
一、关于实数集完备性的基本定理
二、上极限和下极限
第 9 讲 一元积分学
（一）不定积分
原函数与不定积分
原函数存在定理
（二）定积分
定积分的概念
定积分存在定理
定积分的性质
（三）变限积分
变限积分的概念
变限积分的性质
变限积分的求导公式
（四）反常积分
反常积分概念的通俗理解
无穷区间上反常积分的概念与敛散性
无界函数的反常积分的概念与敛散性
判断收敛
二、计算
（一）基本积分公式
（二）凑微分法
（三）换元法
（四）分部积分法
（五）有理函数积分
（一）平面图形的面积
（二）旋转体的体积
（三）定积分在物理中的应用
（四）旋转曲面的面积
第 10 讲 积分等式与积分不等式
一、积分等式
（一）用中值定理
（二）用夹逼准则
（三）用积分法
二、积分不等式
（一）用函数的单调性
（二）用拉格朗日中值定理
（三）用泰勒公式
（四）用积分法
第 11 讲 数项级数
一、级数
（一）定义
数项级数定义
部分和定义
（二）级数收敛
级数收敛定理
柯西收敛
收敛的必要条件
去掉或增加有限项
二、正项级数——收敛的一般判别原则
充要条件
比较原则——推论:极限形式
比式判别法——推论:极限形式
根式判别法
积分判别法
拉贝判别法——推论:极限形式
三、交错级数
定义
莱布尼茨判别法
余项判别
四、一般项级数
绝对收敛、条件收敛
阿贝尔判别法
狄利克雷判别法
第 12 讲 函数列与函数项级数
一、函数列
（一）函数列有关概念
收敛及收敛域的定义
极限函数
（二）函数列一致收敛性
一致收敛定义
内闭一致收敛
（三）一致收敛判别法
柯西准则
最值判别法
（四）一致收敛的性质
极限顺序可交换
闭区间连续、开区间一致连续，则闭区间一致连续
连续性
可积性
可微性
二、函数项级数
（一）函数项级数有关概念
部分和函数列
收敛域
和函数
（二）函数列级数一致收敛
（三）一致收敛判别法——六种判别法
逐项可积
逐项可导
第 13 讲 幂级数
一、幂级数
幂级数收敛区间
幂级数性质
幂级数的计算
二、幂级数展开
泰勒级数展开式
可以展开的充要条件
麦克劳林级数展开
第 14 讲 多元函数微分学
一、基本概念
（一）平面点集的基本概念
（二）极限
（三）连续
（四）偏导数
（五）可微
（六）偏导数的连续性
二、多元函数微分法则
（一）链式求导规则
（二）隐函数存在定理（公式法）
三、多元函数的极值与最值
（一）概念
（二）无条件极值
隐函数
显函数
（三）条件极值与拉格朗日乘数法
闭区域边界上的最值
闭区域上的最值
第 15 讲 二重积分
一、概念，性质与对称性
（一）几何背景
（二）性质
（三）对称性
普通对称性
轮换对称性
（一）直角坐标系
（二）极坐标系
（三）极坐标系与直角坐标系选择的一般原则
（四）极直互化
（五）积分次序
（六）用二重积分处理一元积分问题
第 16 讲 曲线积分
一、第一型曲线积分
（一）第一型曲线积分的定义
（二）第一型曲线积分的计算
二、第二型曲线积分
（一）第二型曲线积分的定义
（二）第二型曲面积分的计算
（三）两类曲线积分的联系
第 17 讲 曲面积分
一、第一型曲面积分
（一）第一型曲面积分的概念
（二）第一型曲面积分的计算
二、第二型曲面积分
（一）曲面的侧
（二）第二型曲面积分的概念
（三）第二型曲面积分的计算
（四）两类曲面积分的联系
三、高斯公式与斯托克斯公式
（一）高斯公式
（二）斯托克斯公式
