导图社区 材料力学公式大全
本导图涵盖了大学大类基础课程《材料力学》中所有常见的重要公式，并在其中加入了公式所对应的书籍页码，可配套北京理工大学相关教材使用。
关于多元函数的思维导图，分享了点集、极限（二元）、连续、几何应用、极值、泰勒展开、隐函数、偏导的知识。
刚体的转动，本图详细地总结了大学物理中刚体转动方面的知识，希望这份脑图会对你有所帮助。
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第二章土的物理性质及工程分类
人工智能的运用与历史发展
电池拆解
材料力学公式大全
绪论
首先明确几个概念，不然公式看不懂
三大性质
强度
抵抗破坏的能力
刚度
抵抗变形的能力
稳定性
保持原有平衡的能力
四大假设
连续性假设
组成变形固体的材料之间不存在空隙
均匀性假设
变形固体本身的性质不随空间位置改变
各向同性假设
变形固体在任一点处的宏观力学性能都与材料的空间取向无关
小变形假设
工程实际中的变形量是远远小于工程构建本身的几何尺寸的
这三大性质与四大假设，构成了材料力学的基石
杆件在一般外力作用下的内力分析
外力偶矩与飞轮功率的关系
式中n代表转速，M代表作用于轴上的外力偶矩大小，P代表某截面上飞轮传递的功率
P13 （1.2）
剪力，弯矩与横向分布载荷集度的关系
式中F为剪力，M为弯矩，q为轴向载荷集度
P18 （1.3）（1.4）（1.5）
应力应变分析及应力应变关系
正应力与切应力
P42 (2.1)(2.2)
应力张量
容易发现，张量关于σ所在的对角线似乎对称，事实上也是如此，下标元素一样的τ在数值上永远是恒定的，这称为“切应力互等定理”
P43(2.5),P44(2.11)
斜截面应力公式
式中的α代表了斜截面法线方向相对于x轴转过的角度，以逆时针为正
P46(2.12)(2.13)
主方向，主应力，最大切应力
主方向角度公式
所谓主方向，就是切应力为零的方向
主应力
所谓主应力，就是主方向上的两个应力分量，而事实上，主应力应该还有第三个，而在平面受力情况下，第三个为0，三个主应力从大到小，可排出第一第二第三主应力
值得一提的是，如果三个主应力的数值均相等，那么此时物体的受力被称为“静水应力状态”，或称“球形应力”
最大切应力
三组最大切应力的值，分别是三个主应力两两相减后除以2（必须是大的减小的）
最大切应力的方向与其对应的两个主应力方向之间的夹角都为45°
P46，47
应力圆（莫尔圆）
圆心
令其等于A
半径
令其等于B
完整莫尔圆方程
莫尔圆是一种能够直观表示正应力与切应力之间关系的图线，其表现为一个圆形，圆上的点的横纵坐标即为对应的正应力与切应力，点到圆心的连线与横轴的夹角即为2α，其中α指的是各个截面法线方向与x轴转过的角度，以逆时针为正
P48，49
而在此之上，我们还可以绘制出一种被称为“三向应力圆”的图像，具体见P51
应变
正应变
切应变
显而易见的，这些切应变每一个都是二阶对称的，故在写成矩阵时，每一个前面都要写一个1/2，以保证其在进行坐标转换时依二阶张量的变换规律而变换
在各向同性的前提之下，正应力不可能造成切应变，切应力也不可能造成正应变，但是，正应力可以造成其他方向上的正应变
P58
主应变
显然的，我们只需要在应力公式中，用ε替换σ，再用γ/2替换τ，就可以得出主应变和主切应变的公式
另外两个方向上的应变公式也类似，此外，我们也可以通过直接测量物体上三个特定方向上的正应变，即可通过方程组推出该点上的各个应变值
P59
此外，主应变和主切应变也可以通过此式中的代换得出
应力应变关系
基础公式
推论公式
值得一提的是，三个主应变和三个主应力之间也有这样的公式
其他方向上的应力应变关系公式也类似，这些玩意合称“广义胡克定律”
P60，61
其中的v称“泊松比”指的是其他方向上的正应变与应力方向上的正应变之间的关系，一般来讲，v不会超过0.5，因为如果超过0.5，则代表整个物体的体积在受到一个单向外力的情况下膨大了，这显然是荒谬的（更荒谬的是，真的有些人造材料会这样）
体应变
体应变等于三个主应变之和
P62
轴向拉压及材料的常规力学性能
圣维南原理
杆端外载荷的作用方式对正应力的影响只会集中于作用点处的一小部分，而不影响杆中的大部分位置
P72
正应力与轴向压力的关系
P73, 式中A代表横截面积
材料的延伸率与截面收缩率
延伸率
截面收缩率
P80
许用应力
对于塑性材料，一般拉压许用应力相同，对于脆性材料则需要拉伸远小于压缩
P84
剪切与挤压
类似正应力的关系
P90，91
扭转
圆轴扭转时的变形几何关系
变形前为平面的横截面，变形之后仍然为平面，其形状与大小并不改变，只是绕轴线刚性地转动了一个角度，这称为“圆轴扭转的平面假定”
那么显而易见的，在扭转时，一定是距离扭矩越近的面扭转的角度更大，并且按照线性的假设，每个相邻的面之间转动的角度一定是相同的。那么，如果每个平面的转角为φ（x），之间的距离为x，那么相邻的两个平面之间的转角一定为
P103
圆轴扭转中的物理关系
切应力与变形量的关系
切应力与扭矩的关系
式中的T代表对应截面的扭矩
当圆轴是空心时，假设内径为d，外径为D，则τ为此
P104，105
圆轴扭转时的内力关系
在扭转时，按照我们的假设，其中的每个点都应该处于纯切应力状态（在平面的一轴平行于圆柱轴线时）那么根据我们之前学习的正切应力转换关系，将会有：
方向与纯切应力面夹45°
圆轴扭转时的变形
对之前的扭矩与扭转角的关系进行变形积分，可得到公式如下
P106
薄壁圆管扭转变形
对于薄壁圆管来说，由于管壁非常薄，其上的应力可以视作均匀分布，所以可以推出公式如下：
P106,107
圆轴扭转的强度与刚度
类似拉压，也有许用扭矩
非圆截面杆扭转的简介
不是重点，此处仅给出公式，详见P113
其中α，β，v都是特殊因数，用时查P114表
薄壁杆件扭转的简介
不是重点，此处公式也不给，详见P114
圆轴的弹塑性扭转
见P118
弯曲
首先明确两个概念
纯弯曲
若一段物体上仅仅有弯矩而无剪力，则称其弯曲形式为纯弯曲
剪切弯曲
若一段物体上有同时有剪力和弯矩，则称其弯曲形式为剪切弯曲或横力弯曲
纯弯曲时，梁的横截面上只有正应力，而在剪切弯曲时，梁的横截面上不仅有正应力、还有切应力
P127
纯弯曲时的应力与弯曲正应力公式
为了推出公式而进行的若干假定
平面假定
变形后的梁，其横截面仍保持平面且与梁轴线正交
单向受力假定
梁内与轴线平行的各纵向纤维之间不存在相互挤压
中性层
容易发现，在梁弯曲后，总会有一边伸长、另一边缩短，那么哲学地来看，梁中必然存在一个层既不伸长也不缩短，我们称之为中性层
P128
变形几何关系公式
式中y代表横截面上任意一点到中性层的距离；ρ代表中性层的曲率半径。P128
物理关系公式
你知道的，E是胡克定律中的系数。
P129
力系等效关系公式
首先要明确一点——截面的中性轴必过截面的形心，且截面上的y，z坐标轴必然是形心惯性主轴。只有在这里建系，才能在分析纯弯曲导致的内力时仅分析弯矩而不用关心应力
梁纯弯曲变形与截面弯矩的关系公式
带入物理关系公式，可得
令Iz/ymax=Wz，称弯曲截面系数，则有
此即纯弯曲导致的最大正应力公式
常见截面的I与W
矩形，宽b，高h
圆形，直径为D
空心圆，外径D，内径d，令α=d/D
P130,131
剪切弯曲时的应力与弯曲切应力公式
首先要明确一点——剪切弯曲中，切应力对截面中正应力的影响一般无伤大雅，所以可以直接用纯弯曲的正应力公式计算剪切弯曲的正应力，但是不同的是，剪切弯曲的梁中弯矩一般都会随着位置的不同而发生改变，故需要写出每个面的弯矩公式，并分别进行计算——P131
不过嘛，剪切弯曲的正应力可以用老方法，切应力的计算就得重新推导了
矩形截面梁的切应力
工字形截面梁的切应力
利用应力集中的思想，可以轻易地发现，工字形截面梁的最大切应力应当出现在腹板的正中心，于是有：
值得一提的是，工字钢的Iz/S可以直接通过查表得到
圆形截面梁与圆环形截面梁的切应力
圆形
圆环形
P132~134
弯曲强度条件及其应用
类似拉压扭转，不再赘述
弯曲中心简介
说了是简介，这里只给出一些结论，详见P145
弯曲中心位置的规律若干
具有两个对称轴的截面，对称轴的交点为弯曲中心
具有一个对称轴的截面，弯曲中心一定位于对称轴上
开口薄壁截面当其各直线段中线交于一点时，该点为弯曲中心
弯曲变形的描述与挠曲线的近似微分方程
弯曲变形的描述
弯曲变形一般讨论两个量——挠度ω与转角θ，二者有关系：
P148
挠曲线近似微分方程
利用剪切弯曲中的结论，我们有
注：上式仅考虑了弯矩的作用，因为一般认为剪力和弯矩同时作用时相互之间并不会有太大的干扰，故可以仅考虑弯矩的影响，详见P148
计算弯曲位移的积分法
此即梁的转角与挠度方程，P149
其中C和D作为常数，可以通过一些已知条件来求出，比如某点有个铰支座，则其挠度必为0
此外，容易发现，纯使用积分法来计算弯曲位移十分的复杂，为了简化计算，我们在书本的P153，154给出了常见情况下的挠度表，查表即可
计算弯曲位移的叠加法
如果各载荷产生的相应互不影响（或者影响之小可以忽略不计），则它们产生的总响应等于各载荷单独作用产生的相应之总和（也许是代数和，也许是矢量和），我们称之为叠加原理
组合变形
组合变形的概念与分析方法
略
复杂应力状态下的强度理论
最大拉应力理论（第一强度理论）
强度条件
脆性材料可以在二向受拉，三向受拉或有压应力但最大压应力绝对值不超过最大拉应力时，使用这个理论
最大拉应变理论（第二强度理论）
脆性材料在拉压二向应力时，若压应力绝对值大于拉应力，使用这个理论
最大切应力理论（第三强度理论）
适合二向应力状态下的塑性材料发生屈服失效的情况
畸变能密度理论（第四强度理论）
比第三强度理论更接近实际
莫尔强度理论
强度条件（详见P179）
失效准则的几何表示及屈服面（破坏面）的概念
P180
应用
对脆性材料，多发生断裂失效，适合第一第二强度理论
对于碳钢，铜，铝等塑性材料，多发生屈服失效，适合采用第三、第四强度理论
斜弯曲
x，y方向上的挠度方程
总挠度方程
总挠度与y轴的夹角
P184
拉弯组合变形与偏心拉压
拉伸（压缩）与弯曲组合变形
偏心拉压
中性轴方程
P189
弯扭组合变形
按照第三强度理论
按照第四强度理论
P192，别管式子怎么来的，用就是了
组合变形的一般情形
略，详见P196
能量法
此节的理论要求非常复杂，故我们只讲做题所需要的公式，其余部分详见P210~219
单位载荷法
P221
单位载荷法用于求解线弹性结构的位移——莫尔定理
式中三项分别是轴力，扭矩，弯矩所造成的位移
一般来说，轴力和扭矩所造成的位移远小于弯矩所造成的，故上式可简化为：
而对于桁架这种所有元件都是二力杆，没有扭矩和弯矩的结构，公式退化为：
P223~224
图乘法：一种较为简便的莫尔积分算法，由于本人已经掌握，不再赘述，详见教材P227
静不定结构
静不定次数
静不定次数=“多余力”所含未知量个数=“多余约束”个数=全部未知力所含未知量个数-独立平衡方程个数
一些规律
刚性杆中间加入铰链，则减一次静不定
刚性杆断开，可以减三次静不定
力法求解静不定问题
主要使用的方法是能量法中的单位载荷法，思路如下
1.使用所有能想到的方法降低系统的静不定次数，如解除部分约束，利用对称性等，将系统降到所可降到的最低次静不定，并在操作处加入原静不定结构对应的未知力
2.将所有新加入的未知力摒弃，只考虑剩下部分的外力与约束，绘制出此时的轴力图，扭矩图，弯矩图等
3.仅考虑未知力与处理后的约束，按未知力为1，绘制出对应的轴力图，扭矩图，弯矩图等，若存在多个不相同的未知力，将其分开操作
4.利用2中的图与3中的图进行图乘得到Δ，并让3中的图进行自身图乘得到δ，即可列出δF+Δ=Δ0，由此计算出F
此处的关系非常复杂，但基本思路即是这样，详见P251
一般来讲出题中的系统最终经过降低静不定次数，最终都会在2次静不定一下，以下列出1次静不定和2次静不定所需要的方程组
一次静不定
二次静不定
利用对称性与反对称性简化静不定结构的求解
详见P261~270，此处仅给出一些常见的结论
结构对称，载荷也对称的单跨结构
可在结构的对称截面处将结构切开，切口处两侧截面的内力分量中，剪力和扭矩一定为0，轴力和弯矩一般不为零，故可用一个含约束力偶矩的滑动固支座代替原有连接
结构对称，载荷反对称的单跨结构
在结构的对称截面处将结构切开，切口处两侧截面上的内力分量轴力和弯矩一定为0，剪力和扭矩不为0。于是此处可以用一个可动铰支座代替
结构对称，载荷也对称的双跨结构
在对称处用一个固定支座代替原有的刚性连接
结构对称，载荷反对称的双跨结构
将平面结构从中柱分成两半，且中柱惯性矩减半
双对称结构
将原来的结构取出四分之一进行分析，且使用滑动固支座来代替截面处原来的约束
温度内力和应力
装配内力和应力
P271-275
压杆稳定
欧拉公式
P295
式中μl为不同支撑条件下的挠曲线正弦曲线的半波长度，称为“相当长度”（即相当于两端铰支压杆的长度）。μ称为长度因数
μ的取值
1
两端均为铰支约束，一端为滑动铰支座，一端为固定铰支座
0.5
两端均为固定约束
0.7
一端铰支，一端固定
2
一端固定，一端完全自由
P294
压杆的临界应力
此时引入截面的惯性半径i，则有
再次引入压杆柔度的概念，则原式=
P299
压杆的柔度
柔度
事实是，欧拉公式是有临界应用条件的，存在一个临界值λp，是仅与杆的材料的力学性能相关的材料常数，只有当压杆的柔度大于λp、是“大柔度”杆时，欧拉公式才适用。而小于λp，大于λs（另一个材料常数）时，称“中柔度”杆，此时需要另行使用经验公式，而小于λs时，称“小柔度”杆，此时材料不会发生失稳，只会被压溃
P300
常见的钢
λp=100MPa
λs=60MPa
压杆的稳定性计算
略，详见P304
动载荷
恒加速度平移
P320
匀速转动
P321
冲击载荷
运动的重物从铅垂方向冲击
动载荷因数
运动的重物横向冲击
P325
平面图形的几何性质
静矩和形心
静矩
形心
半圆的形心
惯性矩，极惯性矩，惯性积
平行移轴公式
转轴公式，主惯性轴和主惯性矩
P360
其他二级结论
平面图形对某轴静矩为0 == 该轴过平面图形的形心
平面图形关于某轴对称 == 平面图形对该轴的静矩为0，对该轴相关的惯性积为零
图形由若干简单图形组成时，则总体的惯性矩，静矩，极惯性矩均满足简单的代数加和法则
