立体几何初步

这是一篇关于立体几何的思维导图，主要内容包括：直观图与三视图，空间几何体的体积与表面积，规律与应用，空间向量，点线面之间的位置关系，空间几何体。可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆知识。

立体几何

• 空间几何体
  • 分类1（按照形成过程）
    • 多面体
      • 概念
        • 由若干个平面多边形围成的几何体.
          • 面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面
          • 棱：两个面的公共边叫做多面体的棱
          • 顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
    • 旋转体
      • 概念
        • 一条平面曲线（包括直线）饶它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
          • 轴：这条定直线叫做旋转体的轴
    • 组合体
      • 概念
        • 由简单几何体通过拼接、挖去和截去、嵌套等构成的立体图形.
      • 类型
        • 拼接
          • 例如棱柱和棱锥的拼接
        • 挖去（或截去）
          • 例如正方体截去一个角或者正方体中挖去一个球
        • 嵌套
          • 例如螺丝和螺母就属于嵌套结构
  • 分类2（按照几何体特征）
    • 柱体
      • 棱柱
        • 定义
          • 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
            • 底面 ：两个互相平行的面叫做棱柱的底面
            • 侧面：其余各面叫做棱柱的侧面
            • 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱
            • 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点
        • 特征
          • （1）上下两个底面互相平行且全等；（2）所有侧面都是平行四边形
        • 分类
          • 侧棱是否垂直于底面
            • 直棱柱：侧棱与底面垂直
            • 斜棱柱：侧棱与底面不垂直
          • 按照底面形状
            • 底面是几边形，则叫做 几棱柱.例如底面是三角形，就叫做三棱柱.
            • 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
            • 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
        • 表示
          • 汉字表达
            • 直四棱柱
              • 正三棱柱
                • 正方体
                  • 长方体
          • 字母表达
            • 表示底面各顶点的字母
      • 圆柱
        • 定义
          • 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
            • 轴：旋转轴叫做圆柱的轴
            • 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面
            • 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面
            • 母线：无论旋转到什么位置，始终平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
        • 特征
          • （1）上下两个底面是半径相等的圆
        • 表示
          • 用两个底面圆心字母
    • 椎体
      • 棱锥
        • 定义
          • 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
            • 底面：这个多边形叫做棱锥的底面
            • 侧面：有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面
            • 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱
            • 顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点
        • 特征
          • （1）所有侧面都是三角形；（2）所有侧棱都相交于同一个点
        • 分类
          • 根据底面形状
            • 底面是几边形，就叫做几棱锥.例如三棱锥、四棱锥等.
          • 根据顶点的位置
            • 正棱锥：顶点在底面的投影正好位于底面的中心
          • 特殊的棱锥
            • 四面体：就是三棱锥
            • 正四面体：就是正三棱锥
              • 所有侧面都是正三角形
        • 表示
          • 汉字表示
            • 四面体
              • 正四面体
                • 四棱锥
          • 字母表示
            • 用顶点和底面各顶点的字母
      • 圆锥
        • 定义
          • 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.
            • 轴：旋转轴叫做圆锥的轴
            • 底面：直角三角形的直角边旋转形成的面
            • 侧面：直角三角形斜边旋转形成的面
            • 母线：直角三角形的斜边
            • 顶点：所有母线的交点
        • 特征
          • （1）底面是一个圆；（2）顶点的投影位于底面的圆心处
        • 表示
          • 用顶点和底面圆心表示
    • 台体
      • 棱台
        • 定义
          • 用一个平行于棱锥底面的平面取截棱锥，我们把底面与截面之间的那部分多面体叫做棱台.
            • 底面
              • 上底面：截面所在位置（小）
              • 下底面：原来棱锥的底面（大）
            • 侧面：除了底面的其余各面
            • 侧棱：原来棱锥侧棱剩余部分
            • 顶点：侧面与底面的交点
        • 特征
          • （1）上下两个底面是相似多边形；（2）侧面是梯形；（3）所有侧棱延长可交于一点
        • 分类
          • 正棱台
            • 由正棱锥截取而来，侧面是全等的等腰梯形
          • 底面形状
            • 三棱台
              • 四棱台
                • 五棱台
        • 表示
          • 用表示各顶点的字母
      • 圆台
        • 定义
          • （1）用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
            • 底面
              • 上底面：截面所在位置（小）
              • 下底面：原来圆锥的底面（大）
          • （2）以直角梯形的直角所在腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台.
            • 轴：旋转轴叫做圆台的轴
            • 底面：直角梯形的上下底旋转形成的面
            • 侧面：直角梯形的腰旋转形成的曲面
            • 母线：直角梯形的非旋转轴的腰
        • 特征
          • （1）上下底面是两个半径大小不同的圆；（2）所有母线延长后交于一点
        • 表示
          • 用上下底面的圆心字母
    • 球体
      • 定义
        • 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
          • 球心：半圆的圆心
          • 半径：球心到球面任意一点的线段长
          • 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段
      • 表示
        • 用球心字母
• 直观图与三视图
  • 三视图
    • 三视图是观察者站在几何体的正面、侧面和上面观察到的图形，分别叫做正视图、侧视图和俯视图.
    • 三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等，实虚线
  • 直观图
    • 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
    • 画法：斜二测画法
      • 平行于x轴或与x轴重合的线段长度不变
      • 平行于y轴或与y轴重合的线段长度变为原来的一半
      • 横不变，纵减半
• 空间几何体的体积与表面积
  • 表面积
    • 多面体
      • 围成多面体各个面的面积的和
    • 旋转体
      • 底面与侧面面积的和
        • • • 类比三角形的面积公式
          • • 类比等腰梯形的面积公式
  • 体积
    • 台体
      • • • 柱体
        • • 锥体
  • 球体
    • • • 其中R为球体半径
• 点线面之间的位置关系
  • 基本概念
    • 平面：向四周无限延展
      • 用小写字母a、b、g等来表示
      • 用表示平面的顶点 字母或对角顶点字母来表示
  • 点与直线
    • 在几何中，点是构成线和面的元素，而线和面是点的集合.元素与集合之间的关系用符号Î和Ï来表示.
  • 点与平面
    • 基本概念
      • • 点在面外
    • 基本事实1
      • 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
        • 不共线的三点确定一个平面
        • 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
        • 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面
        • 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面
  • 直线与直线
    • 直线与直线的位置关系
      • 共面直线
        • • 在同一个平面内，没有公共点
        • • 在同一个平面内，有且只有一个公共点
      • 异面直线：
        • 既不平行也不相交
        • 不同在任何一个平面内，没有公共点
    • 异面直线的画法
      • 为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.
    • 直线与直线的夹角
      • • 平行
        • 垂直
          • • 相交垂直
            • 异面垂直
          • 通过平移，异面直线可以转化为相交直线
      • 异面直线所成的角，其大小范围
    • 基本事实4
      • 平行直线经过平移之后可以重合成一条直线，因此平行直线的性质几乎是同步的
      • 平行于同一条直线的两条直线平行
    • 定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
  • 直线与平面
    • 基本概念
      • • 平行
        • 相交
      • 直线与平面都是点的集合，集合与集合之间的关系用Ë、Ì、Í来表示.
    • 基本事实2
      • 如果一条直线上的两个点在这个平面内，那么这条直线在这个平面内
    • 直线与平面的夹角
      • 概念
        • 平面上一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线与这个平面所成的角.
          • • 过点P作平面a的垂线PO，垂足为O.直线PA与平面a的交点A叫做斜足.连接OA，那么PA在平面a内的投影为OA，ÐPAO即直线PA与平面a所成的角.
      • 范围
        • • • 直线在平面内
            • 直线与平面平行
          • • 直线与平面垂直
    • 直线与平面平行
      • 定义
        • 直线与平面没有交点，就说直线与平面平行
          • • 在画图时，直线与平行四边形的一边平行
      • 判定定理
        • 判断两直线平行的方法：传递性、平行四边形、梯形、中位线、同位角内错角等
        • 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
      • 性质定理
        • 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
    • 直线与平面垂直
      • 定义
        • 如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.
      • 点到平面的距离
        • 直线到平面的距离：当一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
          • 直线到平面的距离转化成点到直线的距离
        • 定理
          • 过一点垂直于已知平面的直线只有一条
        • 垂线段
          • 过一点作平面的垂线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.
        • 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
          • 在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离.
            • 等体积法是求点到平面距离的常用方法
      • 判定定理
        • 判断两条直线垂直的方法：正方形、矩形、菱形的对角线、直角梯形、勾股定理等
        • 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
      • 性质定理
        • 垂直于同一个平面的两条直线平行
  • 平面与平面
    • 基本概念
      • 两个平面相交的结果是一条直线
    • 基本事实3
      • 如果两个步重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
    • 平面与平面平行
      • 定义
        • 两个平面没有公共点，就说两个平面平行
      • 两个平行平面间的距离
        • 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做两个平行平面之间的距离.
          • 转化成点到平面的距离
      • 判定定理
        • 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
      • 性质定理
        • 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
    • 二面角
      • 定义
        • 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
          • 这条直线叫做二面角的棱
          • 这两个半平面叫做二面角的面
      • 记法
      • 二面角的平面角
      • 度量
        • 二面角的大小可以用它的平面角来度量
          • 平面角是直角的二面角叫做直二面角
    • 平面与平面垂直
      • 定义
        • 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直
      • 判定定理
        • 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
      • 性质定理
        • 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直,
• 空间向量
  • 子主题
    • 子主题
      • 子主题
        • 子主题
          • 子主题
  • 子主题
    • 子主题
      • 子主题
        • 子主题
          • 子主题
  • 子主题
    • 子主题
      • 子主题
        • 子主题
          • 子主题
  • 子主题
    • 子主题
      • 子主题
        • 子主题
          • 子主题
• 规律与应用
  • 易错点
    • 台体的由来
      • （1）截面与底面必须平行
        • （2）侧棱或母线延长后必须交于同一点（即圆锥或棱锥的顶点）
    • 空间几何体的表面积
      • 在数学问题中，有多少个面算多少个面.常见的方法有缝补法、全等法、切割法等
      • 在实际问题中，要根据实际情况确定.例如游泳池不加盖子，烟囱不加底面
    • 平面与空间中的命题真假
      • 线线
        • 在平面中，若两条直线没有交点，则这两条直线平行.
        • 在空间中，若两条直线没有交点，则这两条直线平行或异面.
      • 线面
        • 一条直线不在平面内，则这条直线和这个平面相交或者平行.
        • 一条直线上的所有点到一个平面的距离都相等，则直线在平面内或直线与平面平行.
      • 面面
        • 两个平面平行，这一个平面内的任意一条直线都与另外一个平面平行.
        • 两个平面垂直，如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线平行于另一个平面或这条直线在另一个平面内.
    • 平面四边形与空间四边形
      • 平面四边形
        • 所有的平面四边形问题都可以切割成两个三角形，然后利用正余弦定理解决.
        • 平面四边形有外接圆Û对角互补
          • 圆心为三角形外接圆圆心
      • 空间四边形
        • 平面四边形沿对角线折一下就形成空间四边形.
        • 三棱锥少画一条棱就是空间四边形.
        • 空间四边形可以转化成三棱锥
  • 易混点
    • 斜二测画法与正等测画法
      • 斜二测画法
        • 坐标系倾斜
          • 与y轴平行或重合的线段变为原来的一半
            • 典型代表：正方形变平行四边形
      • 正等测画法
        • 坐标系不倾斜
          • 与y轴平行或重合的线段变为原来的一半
            • 典型代表：圆变椭圆
    • 几何体的高与斜高
      • 斜高：棱锥侧面三角形或棱台侧面梯形的高.通常在求表面积的时候用到.
      • 高：两个底面之间的距离或者顶点到底面的距离.通常在求体积的时候要用.
      • 斜高与高之间存在勾股定理关系，二者通常是可以转化的.
  • 规律
    • 斜二测画法
      • • • 本质上原来的高与直观图的高之间的关系
    • 证明
      • 直线与直线
        • 平行
          • 平面几何法
            • 传递性
              • 平行四边形
                • 中位线
                  • 梯形
                    • 内错角
                      • 同位角
                        • 同旁内角
          • 立体几何法
            • 棱柱的侧棱互相平行，上下底面的对应边互相平行.
            • 圆柱的所有母线都互相平行
            • 垂直于同一个平面的两条直线平行
            • 若一个平面与两个平行平面相交，则交线平行
        • 垂直
          • 平面几何法
            • 勾股定理
              • 直角三角形
                • 直径所对的圆周角
                  • 直角梯形
                    • 菱形
                      • 矩形
            • 等腰三角形的三线合一
            • 若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则与另一条也垂直
          • 立体几何法
            • 直棱柱的侧棱垂直于底面内的任意一条直线
            • 几何体的高垂直于底面内的任意一条直线
            • 若一条直线垂直于一个平面，则与这个平面内的所有直线都垂直.
      • 直线与平面
        • 平行
          • 若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线和这个平面平行
          • 若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都平行于另外一个平面.
        • 垂直
          • 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直.
          • 两个平面垂直，若一个平面内的一条直线垂直于交线，则这条直线垂直于另一个平面.
          • 若两条平行线中的其中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
      • 平面与平面
        • 平行
          • 一个平面内两条相交直线分别平行于另外一个平面，则这两个平面平行.
          • 一个平面内两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，这这两个平面平行.
        • 垂直
          • 如果一个平面经过另外一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
          • 如果两个平面所形成的平面角为直角，则这两个平面垂直.
    • 题型
      • 外接球问题
        • 补成长方体或正方体
        • 找球心
          • • • • 这个是两种方法的综合
      • 平行与垂直
      • “三角”
        • 线线角
          • （1）平移至相交
            • （2）构造三角形
              • （3）解三角形
        • 线面角
          • （1）找到斜足
            • （2）过直线上另一点作平面的垂线，找到垂足
          • （3）连接斜足与垂足
            • （4）解直角三角形
        • 面面角
          • （1）找到两个平面的交线
            • （2）分别在两个平面内作交线的垂线
          • （3）通过两条垂线构造三角形（如果异面，平移至相交）
            • （4）解三角形
        • 角的问题，最终都是解三角形的问题