概率

这是一篇关于概率的思维导图，主要内容包括：条件概率，事件的独立性，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式，离散型随机变量及其分布列，两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布，规律与应用。

概率

• 条件概率
  • 定义
    • 如果事件A,B是两个随机事件，且P(A)>0,则在事件A发生的条件下事件B发生的概率叫作条件概率，记为P(B|A).
  • 计算公式
  • 几何意义
    • • AB阴影的面积除以圆A的面积，即在A发生的条件下B发生的概率，即P(B|A)
• 事件的独立性
  • A、B相互独立
    • P(AB)=P(A)P(B)
      • P(A|B)=P(A)
        • P(B|A)=P(B)
  • 如果n(n>2)个事件A1，A2，…，An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称A1，A2，…，An相互独立.
    • 一般地，当n(n>2)个事件A1，A2，…，An相互独立时，有以下公式成立：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).
• 乘法公式
  • • P(AB)=P(B)P(A|B)
  • 若P(AB)>0,则P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
  • 若Ai(i=1,2,…,n)为随机事件，且P(A1A2…An-1)>0,则P(A1A2…An)=P(A1A2…An-1)P(An|A1A2…An-1)
• 全概率公式
• 贝叶斯公式
• 离散型随机变量及其分布列
  • 随机变量
    • 定义
      • 如果随机试验每一个可能结果e,都唯一地对应着一个实数X(e),则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.
    • 表示
      • 随机变量通常用X，Y，ξ，η，…表示.
  • 离散型随机变量
    • 如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量
  • 分布列
    • 设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，¼，xn，其相应的概率为p1，p2，…，pn，记P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n).
    • 性质
      • （1）pi≥0，i=1,2,3,…,n;
      • （2）p1+p2+…+pn=1.
  • 数学期望
    • 若Y=aX+b，a,b为常数，则E(Y)=aE(X)+b
  • 方差
    • 若Y=aX+b，a,b为常数，则D(Y)=a2D(X)
• 两点分布
  • 也叫做0-1分布
  • 定义
    • 如果随机变量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p，p∈(0,1),则称随机变量X服从两点分布，记作X~B(1,p).
  • 期望
    • E(X)=p
  • 方差
    • D(X)=p(1-p)
• 二项分布
  • 二项分布是两点分布的“累积”
  • 伯努利试验
    • 一般地，在相同条件下进行n次重复试验，如果每次试验只有两种可能的结果A与`A并且P(A)保持不变，各次试验的结果相互独立，那么称这样的试验为伯努利试验，它也是一种n次独立重复试验.
  • 定义
  • 期望
    • E(X)=np
      • 方差
        • D(X)=npq=np(1-q)
• 超几何分布
  • 定义
  • 期望
    • • 方差
• 正态分布
  • 概率密度曲线
    • 随机变量X在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的概率，因此，我们把这条曲线称为X的概率密度曲线.
  • 定义
    • 曲线呈现“中间高，两边低，左右大致对称”的特点，我们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线，简称正态曲线
  • 概率密度函数
    • • 其中μ和σ为参数，且σ>0，μ∈R. 此时，我们称随机变量X服从参数为μ和σ²的正态分布，简记为X~N(μ,σ²).
    • 期望
      • E(X)=m
        • m读作“缪（miu）”
    • 方差
      • D(X)=s2
        • s读作“西格玛（sigma）”
  • 正态分布曲线的特点
    • 1.曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
    • 2.曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
    • 3.
    • 4.当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
    • 5.σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡；
    • 6.曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1.
  • 标准正态分布
    • 定义
      • 数学期望μ=0,方差s²=1时的正态分布称为标准正态分布
    • 密度函数
    • 表示
      • 随机变量X服从标准正态分布，简记为X~N(0,1).
  • 3s法则
    • • 随机变量X取值： （1）落在区间(μ-σ，μ+σ)内的概率约为68.27% （2）落在区间(μ-2σ，μ+2σ)内的概率约为95.45% （3）落在区间(μ-3σ，μ+3σ)内的概率约为99.73%
• 规律与应用
  • 易错点
    • （1）有放回地取是二项分布；不放回地取是超几何分布.
    • （2）如果样本量很大，超几何分布可以近似地看成二项分布.
    • （3）P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
      • P(A)P(B|A)可以理解为：A发生了，B在A的条件下也发生了，即AB同时发生
    • （4）事件之间的关系不同，则相关的计算公式不同，判断事件之间的关系是解题的前提条件.
  • 易混点
    • （1）独立事件可能同时发生，互斥事件不可能同时发生
    • （2）独立事件的判断要用公式P(AB)=P(A)P(B),不能主观臆断
    • （3）二项分布是独立重复试验，超几何分布第一次对第二次的结果有影响
  • 方法技巧
    • （1）两点分布与二项分布
      • 两点分布
        • X~B(1,p)
        • E(X)=p，D(X)=p(1-p)
      • 二项分布
        • X~B(n,p)
        • E(X)=np，D(X)=np(1-p)
    • （2）有放回，独立重复试验是二项分布；不放回，一次性取等是超几何分布
    • （3）非标准正态分布，可以将其标准化
    • （4）正态分布的题，通常情况下要用到图形以及对称进行解题