数列

这是一篇关于数列的思维导图，主要内容包括：等比数列，规律与方法，数学归纳法，概念，等差数列。数列是数学中的一个重要概念，它表示一系列按照一定顺序排列的数。数列中的每一个数都被称为数列的项，而数列中的项数可以是有限的，也可以是无限的。

数列

• 概念
  • 定义
    • 按照一定顺序排列而成的一列数叫做数列
      • 项
        • 数列中的每一个数叫做这个数列的项
      • 首项
        • 排在第一位的数叫作数列的首项或者第1项
      • 第n项
        • 排在第n位的数叫作数列的第n项
  • 表示
    • 列表法
      • 把数列中的项依次列举书写
      • 用表格表示
        • • 特别注意：第n列的式子经常就是数列的通项公式
    • 通项公式
    • 递推公式
    • 图象
  • 分类
    • 按照项的数量
      • 有穷数列
        • 项数有限的数列
      • 无穷数列
        • 项数无限的数列
    • 按照波动性
      • 单调递增数列
        • 从第2项起，每一项都大于它的前一项
      • 单调递减数列
        • 从第2项起，每一项都小于它的前一项
      • 常数列
        • 各项相等的数列
      • 摆动数列
        • 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
  • 数列与函数的关系
  • 数列的前n项和
  • 数列的性质
    • 单调性
      • 数列的单调性转化为函数的单调性，利用函数方法求得数列的单调性.
    • 周期性
      • 具有周期性的数列在写通项公式的时候可以考虑三角型函数.
    • 最值
      • 数列所有项里面最大（小）的那一项称为数列的最大（小）项
• 等差数列
  • 定义
    • 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等差数列.
      • 这个常数叫做数列的公差，通常用字母d表示.
  • 递推公式
  • 通项公式
    • • 累加法
  • 性质
    • 公差
    • 等差中项
    • • 特别地
  • 前n项和公式
    • • 倒序相加法
  • 等差数列与一次函数
    • 解析式
    • 性质
• 等比数列
  • 定义
    • 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等比数列.
      • 这个常数叫做数列的公比，通常用字母q表示.
  • 递推公式
  • 通项公式
    • • 累乘法
  • 性质
    • 公比
    • 等比中项
    • • 特别地
  • 前n项和公式
    • • 错位相减法
  • 等比数列与指数型函数
    • 解析式
    • 性质
      • • 注意这里是充分不必要条件，例如数列0,0,0，¼是常数列，但它不是等比数列.
      • • 注意这里是充分不必要条件，例如数列1,3,2,4，它是摆动数列，但它不是等比数列.
• 数学归纳法
  • 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按如下步骤进行：
    • （1）（归纳奠基）
    • （2）（归纳递推）
    • 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
• 规律与方法
  • 易错点
    • （1）等比数列求和时，忽略q=1这种特殊情况
      • 一般先考虑q=1，再考虑q¹1
    • （2）等比数列与指数型函数，底数的取值范围与公比的取值范围具有很大的差异.
    • （3）数列是特殊的函数，利用函数的方法求数列的单调性与最值的时候，特别注意数列自变量的取值范围为正整数.
    • （4）等比中项有两个，这两个数互为相反数，但是在特定的题目，经常只取其中一个.
    • （5）在等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同.
    • （6）在求和等问题中，有多少项必须弄清楚.从第k项到第m项共m-k+1项.
  • 易混点
    • （1）等差数列中可以取几个数形成等比数列，等比数列中也可以取几个数形成等差数列.
    • （2）数列的通项公式不是唯一的，有些数列有很多个通项公式，有些数列没有通项公式.
    • （3）递推公式的起始条件非常重要，一般先利用递推公式求出几项，观察数列的规律.
    • （4）数学归纳法中，归纳奠基是需要证明的，而归纳递推中的前提条件是假设成立，需要证明在前一个式子成立的条件下，证明后一个式子成立.
  • 等差数列与等比数列的对比
  • 求通项公式
    • 定义法
      • 根据题意判断数列是否为等差或等比数列
    • 累加法
    • 累乘法
    • 配凑法
      • 通过整体变化使得数列呈现出等比或者等差的形式
    • 构造法
  • 求和方法
    • 倒序相加法
      • • 分清楚项数是偶数还是奇数
    • 错位相减法
      • • （1）减（2）得
    • 分组求和法
    • 裂项相消法
  • 函数方法
    • 数列问题常常转化为函数问题，利用函数方法使得问题更便于解决.
    • • 利用函数的图象可以求最值、单调性
      • 利用导数可以求函数的最值、单调性
    • 将函数问题解决以后，再转化为数列问题，特别注意定义域的区别.