近世代数导图笔记

近世代数即抽象代数， 代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。本图讲述了数学专业近世代数的知识内容，包括基本概念、环、域、群论，赶快收藏下图学习吧！

近世代数

• 群论
  • 定义（一般作"x"）
    • 判定
      • I
        • 封闭性
        • 结合律
        • 单位元
        • 逆元
      • II 非空有限半群有消去律
    • 群的阶：元素个数
    • 加群：交换群作"+"
  • 子群 H＜G
    • H为子集且为群
    • 判定
      • I a,b∈H b^-1∈H
      • II a,b∈H ⇒ ab^-1∈H
      • 证明：非空→封闭性→逆元
  • 循环群 G=<a>
    • 任意b=a^k(或ka)
    • 阶为素数必为循环群
    • 生成元个数
      • o(a)=n ⇒ φ(n)个
      • o(a)=∞ ⇒ 两个: a和a^-1
    • 循环群结构定理
      • |G|=∞ ⇒ G ≌ (Z,+)
      • |G|=n ⇒ G ≌ (Zn,+)
  • 陪集
    • H＜G，a∈G：左陪集aH，右陪集Ha
    • |aH|=|bH|
    • 两陪集不等 ⇒ 无交集
    • 拉氏定理：指数[G:H]=|G|/|H|
  • 元素的阶
    • a^x=e的最小整数解（或ax）
    • o(a)=o(gag^-1)
    • o(a)=s, a^n=e ⇒ s|n
    • o(a)=s ⇒ o(a^k)=s/(s,k)
    • |<a>|=o(a)=n
    • G有限
      • H＜G ⇒ |H| | |G|
      • o(a) | |G|
      • |G|=n ⇒ a∈G有a^n=e
  • 置换群
    • 置换：A到A的双射（n个元: n!种置换）
    • 若干个置换作成置换群；全体置换作成对称群Sｎ
    • 置换→Π不交轮换→对换
      • 轮换
        • 为循环置换 逆元：倒写
        • (i1,...,is)(j1,...,jt)的阶: [s,t]
      • 对换
        • (1234)=(12)(13)(14)
        • 奇偶置换各占一半
        • 交错群An：全体偶置换　An△Sn　
  • 正规子群
    • aH=Ha
    • 判定: a∈G，g∈H，共轭元aga^-1∈H
    • 商群：所有陪集构成的群G/N={aN|a∈G} 阶=|G|/|H|
    • 群G的中心C(G)△G
  • 群同态
    • o(a)=k → o(φ(a)) | k
    • 群同态的核：φ:A→A′为群同态，Kerφ={a∈G|φ(a)=e′} ⇒ Kerφ△A
    • 群同态基本定理：G/Kerφ≌A
• 域
  • 定义
    • 关于+为交换群
    • 关于x为交换群（0除外）
    • 分配律
  • 域即交换除环
  • Zn为域n为素数
  • 除环、域有消去律：必为无零因子环、含幺环
• 环
  • 定义
    • 关于+为交换群
    • 关于x为半群
    • 分配律
  • 特殊的环
    • 含幺环：环中有单位元（反例: 2Z）
    • 交换环：x有交换律
    • 无零因子环：有消去律 Zn无零因子n为素数
    • 整环：满足交换环、含幺环、无零因子环（e.g. Z）
    • 除环：环关于x为群
  • 子环
    • 减法、乘法封闭
  • 环同态
• 基本概念
  • 集合
    • 笛卡尔积（是组合）
    • 幂集2^A（所有子集的集合） 个数：2^n
  • 同态
    • 运算的像=像的运算
    • A与B同态：AB之间映射为满
    • 无对称性
  • 同构
    • 同态+双射
    • 映射到自身：自同构
    • 有对称性
  • 等价关系
    • 自反性
    • 对称性
    • 传递性