双曲函数

高中数学，双曲函数是一类与双曲线相关的函数，它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。双曲函数主要包括双曲正弦（sinh）、双曲余弦（cosh）、双曲正切（tanh）、双曲余切（coth）、双曲正割（sech）和双曲余割（csch）等。

双曲函数

• 定义
  • 数学概念
    • 与三角函数类似
      • 但基于双曲线而非圆
    • 包含六个基本函数
      • 双曲正弦（sinh）
      • 双曲余弦（cosh）
      • 双曲正切（tanh）
      • 双曲余切（coth）
      • 双曲正割（sech）
      • 双曲余割（csch）
  • 表达式
    • 通过指数函数定义
      • sinh(x) = (e^x e^(x)) / 2
      • cosh(x) = (e^x + e^(x)) / 2
      • tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)
      • coth(x) = cosh(x) / sinh(x)
      • sech(x) = 1 / cosh(x)
      • csch(x) = 1 / sinh(x)
• 性质
  • 奇偶性
    • sinh(x)和tanh(x)是奇函数
      • sinh(x) = sinh(x)
      • tanh(x) = tanh(x)
    • cosh(x)和sech(x)是偶函数
      • cosh(x) = cosh(x)
      • sech(x) = sech(x)
  • 周期性
    • 双曲函数不是周期函数
• 图像
  • 双曲正弦和双曲余弦
    • 类似于指数函数的图像
      • 无界
      • 渐近线
  • 双曲正切和双曲余切
    • 类似于正切函数的图像
      • 有界
      • 渐近线
• 关系
  • 与三角函数的类比
    • 双曲函数与三角函数有类似的关系
      • 加法定理
      • 倍角公式
      • 半角公式
• 应用
  • 工程学
    • 在信号处理和波动理论中使用
  • 物理学
    • 描述某些物理现象，如双曲余弦分布
  • 复变函数
    • 在复数域中与指数函数紧密相关