第三章函数概念与性质

这是一篇关于第三章函数概念与性质的思维导图，主要内容包括：拓展，性质，基本概念。函数是描述两个变量之间依赖关系的数学工具，其中一个变量（自变量）的变化会导致另一个变量（因变量）按照某种规则变化。

第三章 函数概念与性质

• 基本概念
  • 函数
    • 两个非空数集A,B，任取x∈A，都存在唯一y∈B与之对应，则称y是关于x的函数，记作f（x)
  • 三要素
    • 定义域
      • 具体函数
        • 1/aÞa≠0
        • logabÞa,b＞0且a≠1
        • a的0次幂Þa≠0
        • 根号aÞa≥0
      • 抽象函数
        • 括号里的整体范围不变
    • 对应关系
      • 函数相等：定义域、对应关系完全相等
    • 值域
      • 一次分式
        • 换元
      • 二次分式
        • 转化为关于x的一元二次方程
          • a等于零®验证
          • a不等于零®德尔塔大于等于零
      • 根式
        • 换元法+基本不等式
          • 注意新元取值范围
• 性质
  • 单调性
    • 定义
      • 对于f（x）定义域I内某个区间D，D上任意两个自变量x1,x2，当x1<x2时，都有
        • f(x1)<f(x2)
          • 单调递增
        • f(x1)>f(x2)
          • 单调递减
        • 判断单调性：任取，作差，比0，结论
    • 最值
      • f(x)定义域I，若存在M∈I，使得任取x∈I
        • f(x)≤M且存在f(x)＝M
          • M为最大值
        • f(x)≥M且存在f(x)＝M
          • M为最小值
  • 奇偶性
    • 偶函数
      • 任取x∈I，f(x)＝f(-x)
    • 奇函数
      • 任取x∈I，f(x)＝-f(-x)
        • 若一个奇函数定义域包括零，则一定过（0,0）
• 拓展
  • 对勾函数f(x)＝x+k/x （k＞0）
    • 定义域
      • （-∞，0）U（0，+∞）
    • 值域
      • x＞0
        • f(x)∈【2根号k,+∞）
      • x＜0
        • f(x)∈（-∞，-2根号k】
    • 单调性
      • 单调递增
        • x∈（-∞，-根号k），（根号k，+∞）
      • 单调递减
        • x∈（-根号k，0）（0，根号k）
    • 奇偶性
      • 奇函数
  • 对称性与周期性
    • 对称性——和为常数
      • 关于直线对称
      • 关于点对称
        • 带负号则关于x轴上的点对称
    • 周期性——f(x)＝f(x+T)，则T为周期
      • f（x)=-f(x+T)
        • 周期为2T
      • f(x)=1/f(x+T)
        • 周期为2T
      • f(x)=-1/(x+T)
        • 周期为2T
      • f(x-a)=f(x-b)
        • 周期为（a+b)
    • 综合
      • 分别关于点和点对称
        • 周期为2|b-a|
      • 分别关于点和直线对称
        • 周期为4|b-a|
      • 分别关于直线和直线对称
        • 周期为2|b-a|