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初中数学
这是一个关于初中数学的思维导图。从基础概念到解题技巧，全面覆盖初中三年数学要点。高效掌握数学知识，为数学学习之路奠定坚实基础。
编辑于2024-08-22 17:42:57- 相似推荐
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初中数学
七年级上册
第一章 有理数
1.1正数和负数
1.2有理数
整数和分数统称为有理数
在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。
像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a｜。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （1）如果a>0，那么｜a｜=a；（2）如果a=0，那么｜a｜=0；（3）如果｜a｜=-a.
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。
1.3有理数的加减法
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2.绝对值不想等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。3.一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法交换律：a+b=b+a。
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。
实验与探究 填幻方
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。有理数减法法则也可以表示成：a-b=a+（-b）
阅读与思考 中国人最先使用负数
1.4有理数的乘除法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。
乘积是1的两个数互为倒数。
有理数乘法中两个数相乘，交换因数的位置，积相等。乘法交换律：ab=ba。
有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。乘法结合率：（ab）c=a（bc）。
有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。分配率：a（b+c）=ab+ac。
有理数的除法中，除以一个不等于0的数，等于这个数的倒数。表示成：a/b=a·1/b（b不等于0）
有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.
观察与猜想 翻牌游戏中的数学道理
1.5有理数的乘方
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a*n中，a叫做底数，n叫做指数，当a*n看作a的n次方的结果时。也可读作“a的n次幂”。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
数学活动 小结 复习题1
第二章 整式的加减
2.1整式
这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。单项式的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式与多项式统称整式。
阅读与思考 数字1与字母x的对话
2.2整式的加减
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
信息技术应用 电子表格与数据计算
数学活动 小结 复习题2
第三章 一元一次方程
3.1从算式到方程
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程。
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
等式的性质1:等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a=b，那么a-/+c=b-/+c。
等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c不等于0），那么a/c=b/c。
阅读与思考“方程”史话
3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
实验与探究 无限循环小数化分数
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母
3.4实际问题与一元一次方程
数学活动 小结 复习题3
第四章 几何图形初步
4.1几何图形
长方形、圆柱、球、长（正）方形、圆，线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形。有些几何图形（如长方形、正方形、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
阅读与思考 几何学的起源
4.2直线、射线、线段
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成，两点确定一条直线。
当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。
两点的所有连线中，线段最短。两点之间，线段最短。
阅读与思考 长度的测量
4.3角
角也是一种基本的几何图形，钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，三角尺两条相交的边线，都给我们以角的形象。
我们常用量角器角、度、分、秒是常用的角的度量单位，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1*0；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1‘；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1”。
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似地，还有角的三等分线等。
如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
同角（等角）的补角相等。同角（等角）的余角相等。
4.4课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒
数学活动 小结 复习题4
七年级下册
第五章 相交线与平行线
5.1相交线
角1和角2有一条公共边oc，它们的另一边互为反向延长线（角1和角2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角。
角1和角3有一个公共顶点O，并且角1的两边分别是角3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。对顶角相等。
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
观察与猜想 看图时的错觉
5.2平行线及其判定
直线a与直线b不相交，这时我们说直线a与b互相平行，记作a//b。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线判定1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行。）
平行线判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。（内错角相等，两直线平行。）
平行线判定3:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行。）
5.3平行线的性质
平行线性质1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等。）
平行线性质2:两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等。）
平行线性质3:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补。）
判断一件事情的语句，叫做命题。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
如“对顶角相等，两直线平行”等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据。
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
信息技术应用 探索两条直线的位置关系
5.4平移
1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。
数学活动 小结 复习题5
第六章 实数
6.1平方根
一般地，如果一个正数X的平方等于a，即X*2=a，那么这个正数叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为根号a，a叫做被开方数。
0的算术平方根是0.
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果x*2=a，那么x叫做a的平方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
6.2立方根
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果X*3=a，那么X叫做a的立方根。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号三次根号a来表示，其中a是被开方数，3是根指数。
6.3实数
很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数有叫做无理数。
有理数和无理数统称实数。
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数。
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
阅读与思考 为什么说根号2不是有理数
数学活动 小结 复习题6
第七章 平面直角坐标系
7.1平面直角坐标系
我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
我们可以在平面内画两条互相垂直，原点重合的数轴，组成平面直角坐标系，水平的数轴称为X轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴按照逆时针方面分成四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
阅读与思考 用经纬度表示地理位置
7.2坐标方法的简单应用
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定X轴、Y轴的正方向；（2）根据具体问题确定单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
数学活动 小结 复习题7
第八章 二元一次方程组
8.1二元一次方程组
含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
8.2消元——解二元一次方程
先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
把二元一次方程组的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
8.3实际问题与二元一次方程组
*8.4三元一次方程组的解法
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程叫做三元一次方程组。
阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法
数学活动 小结 复习题8
第九章 不等式与不等式组
9.1不等式
用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式。
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。
不等式的性质1:不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的性质2:不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的性质3:不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
阅读与思考 用求差法比较大小
9.2一元一次不等式
不等式都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，类似于一元一次方程。含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
9.3一元一次不等式组
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
数学活动 小结 复习题9
第十章 数据的收集、整理
10.1统计调查
对全体对象都进行了调查，像这样考察全体对象的调查叫做全面调查。
只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫做抽烟调查。
总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样。
实验与探究 瓶子中有多少粒豆子
10.2直方图
把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距，根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同。
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据个数（叫做频数）。
信息技术应用 利用计算机画统计图
10.3课题学习 从数据谈节水
数学活动 小结 复习题10
八年级上册
第十一章 三角形
11.1与三角形有关的线段
由不再同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类，三边都不相等的三角形和等腰三角形。
三角形两边的和大于第三边。三角形两边的差小于第三边。
三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
信息技术应用 画图找规律
11.2与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角等于它不相邻的两个内角的和。
阅读与思考 为什么要证明
11.3多边形及其内角和
在平面内，有一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
n边形内角和等于（n-2）x180度。
多边形的外角和等于360度。
数学活动 小结 复习题11
第十二章 全等三角形
12.1全等三角形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
12.2三角形全等的判定
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或HL“）。
信息技术应用 探究三角形全等的条件
12.3角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
数学活动 小结 复习题12
第十三章 轴对称
13.1轴对称
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
13.2画轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
信息技术应用 用轴对称进行图案设计
13.3等腰三角形
等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
实验与探究 三角形中边与角之间的不等关系
13.4课题学习 最短路径问题
数学活动 小结 复习题13
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
a*m·a*n=a*m+n（m，n都是正整数）。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（a*m）*n=a*mn（m，n都是正整数）。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（ab）*n=a*n·b*n（n为正整数）。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
a*m/a*n=a*m-n（a不等于0，m，n都是正整数，并且m>n）。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a*0=1（a不等于0）。任何不等于0的数的0次幂都等于1.
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
14.2乘法公式
平方差公式：（a+b）（a-b）=a*2-b*2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
完全平方公式：（a+b）*2=a*2+2ab+b*2，（a-b）*2=a*2-2ab+b*2。两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
阅读与思考 杨辉三角
14.3因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
a*2-b*2=（a+b）（a-b）。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
a*2+2ab+b*2=（a+b）*2，a*2-2ab+b*2=（a-b）*2。两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
阅读与思考 ×2+（p+q） x+pq型式子的因式分解
数学活动 小结 复习题14
第十五章 分式
15.1分式
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，分式A/B中，A叫做分子，B叫做分母。
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
15.2分式的运算
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
阅读与思考 容器中的水能倒完吗
15.3分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法。
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
数学活动 小结 复习题15
八年级下册
第十六章 二次根式
16.1二次根式
一般地，我们把形如根号a的式子叫做二次根式。
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。
16.2二次根式的乘除
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
16.3二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
阅读与思考 海伦-秦九韶公式
数学活动 小结 复习题16
第十七章 勾股定理
17.1勾股定理
命题1（勾股定理）:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b、c，斜边长为c，那么a*2+b*2=c*2。
阅读与思考 勾股定理的证明
17.2勾股定理的逆定理
命题2（勾股定理的逆定理）:如果三角形的三边长a、b、c满足a*2+b*2=c*2，那么这个三角形是直角三角形。
命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
阅读与思考 费马大定理
数学活动 小结 复习题17
第十八章 平行四边形
18.1平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行之间的距离。
平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定定理：1、两组对边相等的四边形是平行四边形；2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；3、对角线互相平分的四边形是平行四边形；4、一组对边平行且相等呢的四边形是平行四边形。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
18.2特殊的平行四边形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。
矩形性质：1、矩形的四个角都是直角；2、矩形的对角线相等。
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理：1、对角线相等的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形。
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形性质：1、菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理：1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；2、四条边相等的四边形是菱形。
正方形的四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。
实验与探究 丰富多彩的正方形
数学活动 小结 复习题18
第十九章 一次函数
19.1函数
我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。
描点法画函数图像的一般步骤如下：第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
阅读与思考 科学家如何测算岩石的年龄
19.2一次函数
一般地，形如y=kx（k时常数，k不等于0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k不等于0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx，当k>0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k不等于0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数y=kx+b（k不等于0）的图像可以由直线y=kx平移｜b｜个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。一次函数y=kx+b（k不等于0）的图像也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b。
当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升；当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降。由此可知，一次函数y=kx+b（k、b是常数，k不等于0）具有如下性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
信息技术应用 用计算机画函数图像
19.3课题学习 选择方案
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反应实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型。
数学活动 小结 复习题19
第二十章 数据的分析
20.1数据的集中趋势
平均数、加权平均数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数的平均数为这组数据的中位数。
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点。平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用公。但它受极端值一组数据中与其余数据差异很大的数据）的影响较大。当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响。中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响。
20.2数据的波动程度
各数据与它们的平均数的差的平方相加然后除以数据个数，所得数据为方差。
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
阅读与思考 数据波动程度的几种度量
20.3课题学习 体质健康测试中的数据分析
数学活动 小结 复习题20
九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是ax*2+bx+c=0（a不等于0）
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
21.2解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
一般地，式子b*2-4ac叫做一元二次方程ax*2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“（三角形）”表示它，即（三角形）=b*2-4ac。
公式法
先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使一次因式等于0，配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便，总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项次数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
阅读与思考 黄金分割数
21.3实际问题与一元二次方程
数学活动 小结 复习题21
第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图像和性质
一般地，形如y=ax*2+bx+c（a、b、c是常数。a不等于0）的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。
从二次函数y=ax*2的图像可以看出：如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>时，y随x的增大而减小。
从二次函数y=a（x-h）*2+k的图像可以看出：如果a>0，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小。
22.2二次函数与一元二次方程
信息技术应用 探索二次函数的性质
22.3实际问题与二次函数
阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系
数学活动 小结 复习题22
第二十三章 旋转
23.1图形的旋转
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P‘，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。
23.2中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心），这个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形。
把一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P‘（-x，-y）。
信息技术应用 探索旋转的性质
23.3课题学习 图案设计
阅读与思考 旋转对称
数学活动 小结 复习题23
第二十四章 圆
24.1圆的有关性质
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。容易看出：半径相等的两个圆时等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角时直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
24.2点和圆、直线和圆的位置关系
设圆O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在园外（d>r）；点P在圆上（d=r）；点P在圆内（d<r）。
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。
直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
根据直线和圆相交、相切、相离的定义，容易得到：直线L和圆O相交（d<r）；直线L和圆O相切（d=r）；直线L和圆O相离（d>r）。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理（可以用反证法证明）：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
实验与探究 圆和圆的位置关系
24.3正多边形和圆
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
阅读与思考 圆周率派
24.4弧长和扇形面积
弧长公式
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
扇形面积公式
我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
实验与探究 设计跑道
数学活动 小结 复习题24
第二十五章 概率初步
25.1随机事件与概率
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n。
25.2用列举法求概率
阅读与思考 概率与中奖
25.3用概率估计概率
实验与探究 派的估计
数学活动 小结 复习题25
九年级下册
第二十六章 反比例函数
26.1反比例函数
一般地，形如y=k/x（k为常数，k不等于0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y时函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
一般地，反比例函数y=k/x的图像是双曲线，它具有一下性质：（1）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
信息技术应用 探索反比例函数的性质
26.2实际问题与反比例函数
阅读与思考 生活中的反比例函数
数学活动 小结 复习题26
第二十七章 相似
27.1图形的相似
我们把形状相同的图形叫做相似图形。
两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
27.2相似三角形
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线所截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
判定三角形相似的定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定三角形相似的定理2:三边成比例的两个三角形相似。
判定三角形相似的定理3:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定三角形相似的定理4:两角分别相等的两个三角形相似。
相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。2、相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。3、相似三角形对应线段的比等于相似比。4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
观察与猜想 奇妙的分形图形
27.3位似
如果一个图形上的点和另一个图形上的点分别对应，并且它们的连线都经过同一点O，那么这两个图形叫做位似图形，点O时位似中心，位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系。
对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形。
信息技术应用 探索位似的性质
数学活动 小结 复习题27
第二十八章 锐角三角函数
28.1锐角三角函数
阅读与思考 一张古老的“三角函数表”
28.2解直角三角形及其应用
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
利用解直角三角形的知识解实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案。
阅读与思考 山坡的高度
数学活动 小结 复习题28
第二十九章 投影与视图
29.1投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
由平行光线形成的投影叫做平行投影。
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。
投影垂直于投影面产生的投影叫做正投影。（当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。）
29.2三视图
当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。
对一个物体（例如一个长方形）在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。
画三视图时，三个视图都要放在正确的位置，并且注意主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。（正对着物体看，物体左右之间的水平距离、前后之间的水平距离、上下之间的竖直距离，分别对应这里所说的长、宽、高。）
主视图可以反应物体的长和高，俯视图可以反应物体的长和宽，左视图可以反应物体的高和宽。
阅读与思考 视图的产生与应用
29.3课题学习 制作立体模型
数学活动 小结 复习题29